HM (Analysis) 0.5

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Material

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HM 2

1.1 ↳

0.5 Ungleichungen

0.5.1 Bernoullische Ungleichung

Für alle $x \in R$ mit $x > - 1$ und alle $n \in N_{0}$ gilt: $1 + n x ≦ (1 + x)^{n}$ .

0.5.2 Schwarzsche Ungleichung

Für beliebige $a_{j}, b_{j} \in R$ gilt $(\sum_{j = 1}^{n} a_{j} b_{j})^{2} ≦ (\sum_{j = 1}^{n} a_{j}^{2}) (\sum_{j = 1}^{n} b_{j}^{2})$ .

0.5.3 Arithmetisches und geometrisches Mittel

Für beliebige $a_{1}, \dots, a_{n} \in R_{0}^{+}$ gilt $\frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n} ≧ \sqrt[n]{a_{1} \dots a_{n}} .$

Man nennt $\frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n}$ das arithmetische und $\sqrt[n]{a_{1} \dots a_{n}}$ das geometrische Mittel.

Mit Hilfe des Höhensatzes kann man die Ungleichung veranschaulichen:

Skizze: Höhensatz zur
Veranschaulichung der Ungleichung zwischen arithmetischem und
geometrischem Mittel

Die Strecke $\overset{―}{A D}$ habe die Länge $a_{1}$ , die Strecke $\overset{―}{D B}$ die Länge $a_{2}$ . Wir errichten die Lote im Mittelpunkt $M$ von $\overset{―}{A B}$ und in $D$ , diese treffen den Thaleshalbkreis über $\overset{―}{A B}$ in $B^{'}$ bzw. $C$ .