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Für jede komplexe Zahl
Wegen der Periodizität der Winkelfunktionen
ist
(Wir verwenden das Bogenmaß zur Angabe des Winkels).
Um Eindeutigkeit zu erreichen,
verlangt man
Ist dies erfüllt,
nennt man
Es seien
Dann gilt:
Man multipliziert also komplexe Zahlen, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert.
Eine interaktive Version dieses Bildes findet man unter https://info.mathematik.uni-stuttgart.de/HM-Stroppel-Material/Polarkoordinaten/
Zum Nachweis der Regel für die Multiplikation benutzt man das Additionstheorem (das sich ergibt aus der Formel von Euler und de Moivre, siehe 1.14.18):
Für
Es sei
Gesucht ist eine
Ansatz:
Durch Vergleich von Real- und Imaginärteilen ergibt sich
Wegen der Periodizität der Winkelfunktionen
kann man sich auf Werte von
Man erhält also
In 0.4.4
haben wir gesehen,
dass Polynome der Form
Der folgende Satz ist viel allgemeiner, sein Beweis liegt aber tief und würde uns hier zu weit führen:
Jedes Polynom
Der Fundamentalsatz besagt, dass jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten wenigstens eine Nullstelle hat — außer den Konstanten:
Man kann durch Division durch den Leitkoeffizienten stets die in 0.4.5 verlangte Form erreichen.
Die üblichen Formeln
(Mitternachtsformel
,
, …) zur
Lösung quadratischer Gleichungen in den reellen Zahlen
lassen sich allgemeiner auch zur Nullstellenbestimmung bei
quadratischen Polynomen mit komplexen Koeffizienten verwenden
— wenn man die Schreibweise
Wer das detaillierter erklärt haben möchte, wird vielleicht von unserer Abhandlung profitieren: Praktische Bestimmung der Lösungen einer quadratischen Gleichung in komplexen Zahlen (mit vertieftem Hintergrundwissen).
Ist
Aus dem
Fundamentalsatz 0.4.5
folgt,
dass sich jedes Polynom
Dabei können manche der
Ist
Im Fall
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