0.4 Polarkoordinaten komplexer Zahlen

Neben der Darstellung durch Paare reeller Zahlen, die für die Addition am günstigsten ist, benötigen wir eine Darstellung, die für Multiplikationen (und vor allem für die Beschreibung rotationssymmetrischer Objekte oder Prozesse) Vorteile bietet.

0.4.1 Definition

Für jede komplexe Zahl z0 gibt es ein φR so, dass gilt:

z=|z|(cosφ+isinφ)=|z|cosφ+i|z|sinφ.

Wegen der Periodizität der Winkelfunktionen ist φ nur bis auf Addition eines ganzzahligen Vielfachen von 2π festgelegt.

Skizze zu Polarkoordinaten

(Wir verwenden das Bogenmaß zur Angabe des Winkels).

Um Eindeutigkeit zu erreichen, verlangt man 0φ<2π.

Ist dies erfüllt, nennt man argz:=φ das Argument von z.

0.4.2 Rechenregeln in Polarkoordinaten

Es seien z=|z|(cosφ+isinφ) und z=|z|(cosψ+isinψ).

Dann gilt:

Skizze: Multiplikation in Polarkoordinaten

Man multipliziert also komplexe Zahlen, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert.

Eine interaktive Version dieses Bildes findet man unter https://info.mathematik.uni-stuttgart.de/HM-Stroppel-Material/Polarkoordinaten/

Zum Nachweis der Regel für die Multiplikation benutzt man das Additionstheorem (das sich ergibt aus der Formel von Euler und de Moivre, siehe 1.14.18):

0.4.3 Additionstheorem

Für s,tR gilt

0.4.4 Wurzelziehen bei komplexen Zahlen

Es sei nN und z=r(cosβ+isinβ)C{0}.

Gesucht ist eine n-te Wurzel aus z, also w=s(cosφ+isinφ)C mit wn=z.

Ansatz:

wn=zsn(cos(nφ)+isin(nφ))=r(cosβ+isinβ).

Durch Vergleich von Real- und Imaginärteilen ergibt sich s=rn und nφ=β+2π mit Z [wg. der Periodizität von cos und sin], also φ{βn+2πn|βn+2πnZZ}.

Wegen der Periodizität der Winkelfunktionen kann man sich auf Werte von im Intervall [0,n1] beschränken.

Man erhält also n verschiedene n-te Wurzeln.

In 0.4.4 haben wir gesehen, dass Polynome der Form Xnz mit zC{0} stets n verschiedene Nullstellen in C haben.

Der folgende Satz ist viel allgemeiner, sein Beweis liegt aber tief und würde uns hier zu weit führen:

0.4.5 Fundamentalsatz der Algebra

Jedes Polynom p(X)=Xn+an1Xn1++a1X1+a0X0 mit a0,,an1C und n1 besitzt mindestens eine Nullstelle in C.

0.4.6 Bemerkungen

Der Fundamentalsatz besagt, dass jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten wenigstens eine Nullstelle hat — außer den Konstanten:

Man kann durch Division durch den Leitkoeffizienten stets die in 0.4.5 verlangte Form erreichen.

Die üblichen Formeln (Mitternachtsformel, pq-Formel, …) zur Lösung quadratischer Gleichungen in den reellen Zahlen lassen sich allgemeiner auch zur Nullstellenbestimmung bei quadratischen Polynomen mit komplexen Koeffizienten verwenden — wenn man die Schreibweise ±z geeignet interpretiert.

Wer das detaillierter erklärt haben möchte, wird vielleicht von unserer Abhandlung profitieren: Praktische Bestimmung der Lösungen einer quadratischen Gleichung in komplexen Zahlen (mit vertieftem Hintergrundwissen).

0.4.7 Faktorisierung von Polynomen

Ist x0 eine Nullstelle von p(X)=Xn+an1Xn1++a1X+a0, so gibt es ein Polynom q(X) mit p(X)=q(X)(Xx0).

0.4.8 Linearfaktoren

Aus dem Fundamentalsatz 0.4.5 folgt, dass sich jedes Polynom p(X)=Xn+an1Xn1++a1X+a0 darstellen lässt als

p(X)=(Xz1)(Xz2)(Xzn).

Dabei können manche der zj gleich sein: die Anzahl der Faktoren (Xzj) nennt man die Vielfachheit der Nullstelle zj in p(X). Die Faktoren (Xzj) heißen Linearfaktoren.

0.4.9 Erraten ganzzahliger Nullstellen

Ist p(X)=anXn+an1Xn1++a1X+a0PolZ ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten (also an,,a0Z), so ist jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler von a0.

Im Fall a00 besitzt a0 nur endlich viele Teiler, man kann also algorithmisch alle ganzzahligen Nullstellen von p(X) bestimmen.

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