\( \def\pause{} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\setminus\smallsetminus \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\CC}{\mathbb C} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \newcommand{\E}{\mathrm{e}} \newcommand{\I}{\mathrm{i}} \)

1.14. Potenzreihen

Zu den rechnerisch (im Prinzip, oder für eine Maschine) leicht beherrschbaren Funktionen gehören jedenfalls die Polynome. Viele weitere Funktionen werden handhabbar, indem man sie durch Polynome approximiert: Dies führt auf Potenzreihen. Wie schon bei den Polynomen ist es sinnvoll, Potenzreihen über den komplexen Zahlen zu betrachten. Dazu müssen wir die nötigen Begriffe der Konvergenz vom Reellen ins Komplexe übertragen:

1.14.1. Konvergenz im Komplexen.

Mit Hilfe des komplexen Betrags \( |a+\I\,b|=\sqrt{a^2+b^2} \) lassen sich fast alle Grundbegriffe der reellen Analysis übertragen:

  1. Grenzwerte definiert man über Umgebungen \( U_\epsilon(z)\pause =\bigset{w\in\CC}{|w-z| \lt \epsilon} \) (Kreisscheiben in \(\CC\), siehe 1.4.4).
  2. Das Cauchy-Kriterium 1.7.1 überträgt sich wörtlich.
  3. Die Rechenregeln für Grenzwerte (Grenzwertsätze 1.5.3) bleiben.
  4. Absolute Konvergenz von Reihen ist auch komplex sinnvoll.
  5. Majoranten-, Quotienten- und Wurzel-Kriterium bleiben.
  6. Die Definition der Stetigkeit von Funktionen mit Hilfe von Umgebungen oder Folgen bleibt gültig.

Was geht schief?

1.14.2. Definition.

Es sei \( (a_j)_{j\in\NN_0} \) eine Folge komplexer Zahlen, und es sei \(z_0 \in\CC\).

Dann heißt \( \sum\limits_{j=0}^\infty a_j(z-z_0^{})^j \) eine komplexe Potenzreihe um den Entwicklungspunkt \(z_0\). Es wird ab \(j = 0\) summiert — analog zu Polynomen.
[Wir wollen den konstanten Term \( a_0 \pause = a_0\,(z-z_0)^0 \) mitnehmen.]

Wir werden für \(z\) komplexe Zahlen einsetzen, und damit aus der Potenzreihe eine gewöhnliche Reihe (im Komplexen) gewinnen.

Deswegen nennt man \(z\) auch eine komplexe Variable.

Natürlich dürfen die Koeffizienten \(a_j\) und der Entwicklungspunkt \(z_0\) auch reell sein (Spezialfall)!

1.14.3. Bemerkung.

Diejenigen \( z\in\CC \), für die die Reihe \( \sum\limits_{j=0}^\infty {\,}a_j\,(z-z_0^{})^j \) konvergiert, bilden eine Teilmenge \(M \subseteq \CC\), die jedenfalls \(z_0\) enthält.

Die Potenzreihe definiert eine Funktion von \(M\) nach \(\CC\).

Spezialfall.

Liegt der Entwicklungspunkt \(z_0\) bei \(0\), so hat die Potenzreihe die Form \( \sum\limits_{j=0}^\infty a_j\,z^j \). Die Partialsummen dieser Reihe sind offensichtlich Polynome.
(Im Allgemeinen gilt das auch: Man muss nur ausmultiplizieren.)

1.14.4. Satz vom Konvergenzkreis.

Es sei \( \sum\limits_{j=0}^\infty a_j\,(z-z_0^{})^j \) eine komplexe Potenzreihe. Dann tritt einer der folgenden Fälle ein:

1.14.5. Definition.

Im ersten Fall (in 1.14.4) nennt man \(\rho\) den Konvergenzradius der Potenzreihe.

Im zweiten Fall sagt man, der Konvergenzradius sei \(+\infty\).

Ist \( \rho\in\RR_0^+\cup\{+\infty\} \) der Konvergenzradius, so heißt \( U_\rho(z_0^{}) \) \({} = \bigset{z\in\CC}{|z-z_0^{}| \lt \rho} \) der Konvergenzkreis (besser: die Konvergenzkreisscheibe).

Auf dem Rand des Konvergenzkreises gibt es keine allgemeine Aussage über Konvergenz oder Divergenz.

Ein
interaktives Spielzeug zur Konvergenzkreisscheibe finden Sie hier.

1.14.6. Satz.

Es sei \( \sum\limits_{j=0}^\infty a_j\,(z-z_0^{})^j \) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius \(\rho \).

Dann ist die Funktion \( f\colon U_\rho(z_0^{})\to\CC\colon{} \) \( \color{red}{x} \mapsto \sum\limits_{j=0}^\infty a_j\,(\color{red}{x}-z_0^{})^j \) stetig.

1.14.7. Bestimmung des Konvergenzradius.

Die Potenzreihe \( \sum\limits_{j=0}^\infty a_j(z-z_0^{})^j \) habe den Konvergenzradius \(\rho \), und es gelte \( \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=a \) oder \( \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=a \).

  1. Ist \(a=0\), so gilt \(\rho=+\infty\).
  2. Ist \(a=+\infty\), so gilt \(\rho=0\).
  3. Ist \(0 \lt a\in\RR\), so gilt \(\rho=\frac1a\).

Es kommt durchaus vor, dass keine der Folgen \( \left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)_{n\in\NN} \) bzw. \( \left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)_{n\in\NN} \) konvergiert. Dann liefert 1.14.7 keine direkte Aussage.

Ein möglicher Ausweg ist, \( \lim\limits_{n>0}\sqrt[n]{|a_n|} \) durch \( \color{red}{a:=\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|a_n|}} \) zu ersetzen:

Wenn der Limes superior positiv und endlich ist, gilt wieder \( \rho=\frac1{a} \).

Die Betrachtung von \( \limsup\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \) oder \( \liminf\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \) hilft dagegen unter Umständen nicht, den Konvergenzradius zu bestimmen.

Zum Beispiel hat die Potenzreihe \( \sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n-(-1)^n} z^n \) den Konvergenzradius \(\rho=2 \)
[wegen \( \limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{2^{-n-(-1)^n}} = \frac12 \) ].

Dagegen gilt \( \liminf\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac18 \) und \( \limsup\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 2 \) (siehe 1.9.15.3)
— die beiden Kehrwerte \(8\) und \(\frac12 \) sind beide weit entfernt vom Konvergenzradius \( \rho \).

1.14.8. Beispiel.

Die geometrische Reihe \( \sum\limits_{n=0}^\infty z^n \) können wir als komplexe Potenzreihe (mit \(a_n=1 \) für alle \(n\) ) auffassen.

Wegen \( \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1 \) liefert 1.14.7 den Konvergenzradius \(\rho=1 \).

Die geometrische Reihe konvergiert also für \(z\in\CC\) mit \(|z| \lt 1 \) absolut, und divergiert für \(|z | \gt 1\).

Auf dem Rand des Konvergenzkreises gilt \(|z | = 1\), in jedem dieser Randpunkte divergiert die geometrische Reihe [weil \( (|z|^n)_{n\in\NN} \) für \( |z|=1 \) keine Nullfolge ist].

Die Summe der geometrischen Reihe (für \(|z | \lt 1\)) ergibt sich (wie in 1.8.4) wieder als \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n = \frac{1}{1-z} \).

1.14.9. Beispiel.

Die Reihe \( \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{z^n}n \) hat die Koeffizienten \(a_n=\frac1n \) (und \(a_0 = 0\)).

Wegen \( \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim\limits_{n\to\infty}\frac n{n+1} = 1 \) liefert 1.14.7 wieder den Konvergenzradius \(\rho=1 \).

Auf dem Rand des Konvergenzkreises kann man wenigstens das Verhalten in den reellen Punkten verstehen:

Die Summe der Reihe (für \(|z | \lt 1\)) können wir noch nicht bestimmen; man erhält sie durch „gliedweise Differentiation/Integration“ (3.8.4) oder durch Betrachtung einer Taylor-Entwicklung (2.6.13) als \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n} = -\ln(1-z) \).

1.14.10. Die komplexe Exponentialfunktion.

Die Exponentialreihe definiert die Funktion \( \color{red}{\exp} \colon z\mapsto \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \) \( {} =: \color{red}{\E^z} \).

Wegen \( \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \) \( {} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac1{n+1} = 0 \) liefert 1.14.7 den Konvergenzradius \(\rho=+\infty \).

Die komplexe Exponentialfunktion ist also auf ganz \(\CC\) definiert.

1.14.11. Rechenregeln für Potenzreihen.

Gegeben seien die beiden Potenzreihen \( f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n\,z^n \) und \( g(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty b_n\,z^n \) mit Konvergenzradien \(\rho_f \) bzw. \(\rho_g \).
Dann gilt:

  1. Für alle \(z\) mit \(|z| \lt \min(\rho_f,\rho_g) \):
    \( \sum\limits_{n=0}^\infty (a_n+b_n)\,z^n = f(z)+g(z) \).
  2. Für alle \(c\in\CC \) und alle \(z\) mit \(|z| \lt \rho_f \):
    \( \sum\limits_{n=0}^\infty c\,a_n\,z^n = c\,f(z) \).
  3. Für alle \(z_1 , z_2\) mit \( |z_1|,|z_2| \lt \min(\rho_f,\rho_g) \):
    \( f(z_1)\,g(z_2) = \pause \sum\limits_{\vphantom{k}n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n a_k\,b_{n-k}\,z_1^k\,z_2^{n-k} \).
  4. Insbesondere gilt:

  5. Für alle \(z\) mit \( |z| \lt \min(\rho_f,\rho_g) \):
    \( f(z)\,g(z) = \pause \sum\limits_{\vphantom{k}n=0}^\infty\biggl(\sum\limits_{k=0}^n a_k\,b_{n-k}\biggr)\,z^n \).

1.14.12. Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.

Für alle \( z,w\in\CC \) gilt: \( \E^z\cdot \E^w = \E^{z+w} \).

1.14.13. Bemerkung.

Man kann beweisen, dass die Grenzwerte \( \E:=\lim\limits_{n>0}\left(1+\frac1n\right)^n \) und \( \exp(1) = \sum\limits_{j=0}^\infty \frac{1}{j!} \) übereinstimmen (vgl. 1.2.9). Mit Hilfe der Funktionalgleichung \( \exp(x+y)=\exp(x)\,\exp(y) \) sieht man dann ein, dass \( \E^2= \E\,\E \) \( {} = \exp(1)\,\exp(1) = \exp(1+1) = \exp(2) \), allgemeiner \( \E^n=\exp(n) \) gilt.

Dies ist der Grund für den Namen „Exponentialreihe“.

1.14.14. Definition.

Für \( \alpha\in\RR \) und \( n\in\NN_0 \) setzt man \( \color{red}{\binom\alpha 0} := 1 \) und \( \color{red}{\binom\alpha n}\pause :=\frac{\alpha\,(\alpha-1)\,(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} \).

1.14.15. Bemerkungen.

  1. Für \(\alpha\in\NN_0 \) entspricht diese Definition der üblichen Definition der Binomialkoeffizienten.
  2. Insbesondere wird \( \binom\alpha n=0 \), wenn \( \alpha\in\NN_0 \) und \( n \gt \alpha \) ist.
  3. Für \( \alpha\notin\NN_0 \) gilt dagegen stets \( \binom\alpha n\ne0 \).

1.14.16. Beispiel.

Die Potenzreihe \( \sum\limits_{n=0}^\infty \binom\alpha n\,z^n \) heißt die binomische Reihe zum Exponenten \(\alpha \).

Genau dann, wenn \(\alpha\notin\NN_0 \) gilt, ist das wirklich eine unendliche Reihe
[sonst liegt das Polynom \((1+z)^\alpha \) vor].

Für \(\alpha\notin\NN_0 \) bestimmen wir den Konvergenzradius nach 1.14.7 aus

\( \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \) \( {} = \lim\limits_{n\to\infty}\left| \frac {\quad\frac{\alpha\,(\alpha-1)\,(\alpha-2)\cdots (\alpha-n+1)\,(\alpha-(n\color{blue}{{}+1})\color{blue}{{}+1})}{(n+1)!}\quad} {\frac{\alpha\,(\alpha-1)\,(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}} \right| \) \( {} = \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\alpha-n}{n+1}\right| \) \( {} = 1 \)
als \( \color{red}{\rho=1} \).

Man kann zeigen, dass für \(|z| \lt 1 \) allgemein \( \sum\limits_{n=0}^\infty \binom\alpha n\,z^n \) einen sinnvollen Wert für \((1+z)^\alpha \) liefert.

1.14.17. Definition.

Wir setzen für \(z\in\CC \)

\( \sin z := \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \, \frac1{(2\,n+1)!} \, z^{2\,n+1} \) \( {} = \frac {z^1}{1!} - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \)

und

\( \cos z := \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \, \frac1{(2\,n)!} \, z^{2\,n} \) \( {} = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \)

Für reelle Argumente (also \(z \in \RR\)) stimmen die durch diese Reihen beschriebenen Funktionen tatsächlich mit den bekannten trigonometrischen Funktionen überein.

Die Interpretation am Einheitskreis veranschaulichen wir in 1.14.18.

1.14.18. Die Formel von Euler und de Moivre.

Für alle \(z\in\CC \) gilt \( \E^{\I\,z} = \cos z + \I\,\sin z \).

Umgekehrt gilt
\( \cos(z) = \frac1{2}\left(\E^{\I\,z}+\E^{-\I\,z}\right) \)
und
\( \sin(z) = \frac1{2\I}\left(\E^{\I\,z}-\E^{-\I\,z}\right) \).

1.14.20. Lemma.

Die Potenzreihen für \(\sin \) und \(\cos \) haben beide den Konvergenzradius \(+\infty \).

1.14.21. Additionstheoreme.

Aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion 1.14.12 und der Formel von Euler und de Moivre 1.14.18 erhalten wir für alle \(z,w\in\CC\):

\( \sin(z+w) = (\cos z)\,(\sin w) + (\sin z)\,(\cos w) \),

\( \cos(z+w) = (\cos z)\,(\cos w) - (\sin z)\,(\sin w) \).

Insbesondere gilt

\( \sin(2\,z) = 2\,(\cos z)\,(\sin z) \),

\( \cos(2\,z) = (\cos z)^2 - (\sin z)^2 \) \( {} = 1 - 2\,(\sin z)^2 \) \( {} = 2\,(\cos z)^2 - 1 \).