\( \def\pause{} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \newcommand{\E}{\mathrm{e}} \newcommand{\I}{\mathrm{i}} \)

Die Konvergenzkreisscheibe

Wir wählen \(a,b,c \in \RR\) mit \(c\ne0\) und betrachten die Potenzreihe \( \sum\limits_{n=0}^\infty \frac3{2^n}(c\,z+a+b\I)^n \).

Um den Entwicklungspunkt und den Konvergenzradius (siehe 1.14.5) ablesen zu können, schreiben wir die Reihe entsprechend der allgemeinen Form als

\( \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n \) \( {} = \sum\limits_{n=0}^\infty 3(\frac{c}{2})^n(z+\frac{a+b\I}{c})^n \).

Der Entwicklungspunkt ist \(z_0 = \color{red}{-(}\frac{a+b\I}{\color{red}{c}}\color{red}{)}\) (passen Sie auf das Vorzeichen und den Faktor \(c\) auf).

Der Konvergenzradius ergibt sich aus der Koeffizientenfolge \((a_n)_{n\in\NN}\):
Wegen \(a_n = 3\frac{c^n}{2^n}\) gilt z.B. \(\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{3\,|c^{n+1}|\,2^n}{3\,2^{n+1}\,|c^n|} = \frac{|c|}{2} \) und deswegen auch \(\lim\limits_{n\to\infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{|c|}{2} \).
Der Konvergenzradius ergibt sich als Kehrwert dieses Hilfsgrenzwerts, also \( \rho = \frac{2}{|c|} \).

In der folgenden Skizze können Sie die Parameter \(a,b,c\) an den Schiebereglern einstellen und damit den Entwicklungspunkt und den Konvergenzradius verändern. (Beachten Sie, dass die Schieberegler aus Platzgründen anders skaliert sind als die Achsen der Ebene).
Sie sehen die Konvergenzkreisscheibe markiert.
Auch die Punkte \(u\) und \(v\) können Sie bewegen.