\( \def\pause{} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\setminus\smallsetminus \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \)

2.4. Der Mittelwertsatz

2.4.1. Definitionen.

Es sei \( f\colon D\to\RR \) mit \( D\subseteq\RR\), und \( x_0\in D \).

  1. Die Funktion \(f\) besitzt in \(x_0\) ein lokales (oder relatives) Maximum \( (x_0^{},f(x_0^{})) \), wenn es eine Umgebung \( U_\epsilon(x_0^{}) \) so gibt, dass gilt: \( \forall\,x\in U_\epsilon(x_0^{})\cap D\colon{} \) \( f(x_0^{})\le f(x) \).
  2. Die Funktion \(f\) besitzt in \(x_0\) ein lokales (oder relatives) Minimum \( (x_0^{},f(x_0^{})) \), wenn es eine Umgebung \( U_\epsilon(x_0^{}) \) so gibt, dass gilt: \( \forall\,x\in U_\epsilon(x_0^{})\cap D\colon{} \) \( f(x)\le f(x_0^{}) \).
  3. Man nennt \( (x_0^{},f(x_0^{})) \) ein lokales Extremum, wenn \( (x_0^{},f(x_0^{})) \) lokales Minimum oder Maximum ist.
  4. Kann man \( U_\epsilon(x_0^{}) \) durch \(D\) ersetzen, so heißt das Extremum (Minimum/Maximum) global (oder auch absolut).
    In diesem Fall gilt \( f(x_0^{})=\min\set{f(x)}{x\in D} \) bzw. \( f(x_0^{})=\max\set{f(x)}{x\in D} \).

Bei jedem Extremum einer differenzierbaren Funktion muss die Tangente waagrecht liegen, und also die Ableitung verschwinden:

2.4.2. Lemma.

Es sei \(I\) ein Intervall und \( f\colon I\to\RR \). Ist \(x_0\) ein innerer Punkt von \(I\) derart, dass \(f\) in \(x_0\) ein lokales Extremum aufweist und \(f\) in \(x_0\) differenzierbar ist, so gilt \( f'(x_0^{})=0 \).

2.4.3. Satz von Rolle.

Es sei \(a \lt b\). Die Funktion \( f\colon[a,b]\to\RR \) sei stetig in \( [a,b] \) und differenzierbar in \( (a,b) \). Ferner sei \( f(a)=f(b) \).

Dann gibt es eine Stelle \( \xi\in(a,b) \) mit \( f'(\xi)=0 \).

2.4.4. Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Es sei \( f\colon[a,b]\to\RR \) stetig und im Innern des Intervalls \( (a,b) \) differenzierbar.

Dann gibt es ein \( \xi\in(a,b) \) mit \( f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \).

2.4.5. Bemerkungen.

  1. Geometrisch interpretiert, sagt der Mittelwertsatz das Folgende:

    Es gibt im Innern des Intervalls \( [a,b] \) (wenigstens) eine Stelle, an der die Tangente die gleiche Steigung hat wie die Sekante, die die Punkte \( (a,f(a)) \) und \( (b,f(b)) \) verbindet.

    Hier ist ein interaktives Beispiel:
    Sie können die Ränder des Intervalls \([a,b]\) ändern. Manchmal gibt es mehr als eine Stelle, an der die Ableitung mit der Sekantensteigung übereinstimmt - dann heißt die zweite Stelle \(\zeta\) (zur Unterscheidung, und damit Sie einen weiteren griechischen Buchstaben trainieren).

    Wenn Sie \(a\) und \(b\) beide jeweils ganz nach außen ziehen, erhalten Sie die Situation des Satzes von Rolle.

  2. Der Satz von Rolle ist in der Tat ein Spezialfall des Mittelwertsatzes. Man beweist ihn aber zuerst separat, weil er beim Beweis des Mittelwertsatzes hilfreich ist.
  3. Aus dem Mittelwertsatz ergibt sich die Kennzeichnung konstanter Funktionen durch das Verschwinden der Ableitung, siehe 2.1.6.

2.4.6. Funktionen mit gleicher Ableitung.

Es seien \( f\colon[a,b]\to\RR \) und \( g\colon[a,b]\to\RR \) beide stetig auf \( [a,b] \) und differenzierbar in \( (a,b) \).

Ferner gelte \( \forall\,x\in(a,b)\colon{} f'(x) = g'(x) \).

Dann unterscheiden sich \(f\) und \(g\) nur um eine additive Konstante:

Es gilt \( \forall\,x\in(a,b)\colon{} \) \( f(x) = g(x) + \bigl( \color{red}{f(a) -g(a)} \bigr) \).

2.4.7. Kennzeichnung der Polynome.

Eine \((n+1)\)-mal differenzierbare Funktion \( f\colon\RR\to\RR \) ist genau dann ein Polynom vom Grad höchstens \(n\), wenn \(f^{(n+1)}\) die Nullfunktion ist.

Der Grad des Polynoms ist dann genau \(n\), wenn \(f^{(n)}\) noch nicht Null ist.

Mit anderen Worten:
Die Polynome vom Grad höchstens \(n\) bilden die Lösungsmenge der Differentialgleichung \( f^{(n+1)}=0 \).

[Beweis durch Induktion nach \(n\), mit Hilfe von 2.4.6.]

2.4.8. Kennzeichnung monotoner Funktionen.

Die Funktion \( f\colon[a,b]\to\RR \) sei auf dem Intervall \( [a,b] \) stetig und im Innern differenzierbar.

Für alle \( x\in(a,b) \) gelte \( \color{red}{f'(x) \lt 0} \).

Dann ist \(f\) auf dem Intervall streng monoton fallend.

Schwächt man die Bedingung \( f'(x) \lt 0 \) ab zu \( f'(x)\le0 \), so ist die Funktion jedenfalls monoton fallend.

Die Funktion ist (streng) monoton steigend, wenn ihre Ableitung nie negativ (bzw. immer positiv) ist.