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Die in diesem Semester zu behandelnden Themen setzen die Beherrschung der folgenden Inhalte voraus:
Wir raten Ihnen dringend, diese Inhalte aufzufrischen!
Vielleicht hilft dabei auch ein interaktives Spielzeug zur geometrischen Reihe ... oder ein Video über ein in den Campus Vaihingen eingebettetes Kunstwerk)
Im weiteren Verlauf werden wir auch Methoden aus der Linearen Algebra benötigen, wenn wir Funktionen mehrerer Veränderlicher betrachten.
Die Nummerierung bezieht sich auf das Lehrbuch (W. Kimmerle, M. Stroppel: Analysis für Ingenieure, Mathematiker und Physiker, edition delkhofen, 7. korrigierter Nachdruck der 4. Auflage 2020).
Es sei \( {(a_n )_{n \in \mathbb N}} \) eine Folge reeller Zahlen. Wir schreiben
für die Summe der ersten \(n\) Folgenglieder.
Die damit definierte Folge \(((S_n )_{ n \in\mathbb N}\) nennt man eine (unendliche) Reihe, oft schreibt man
und meint damit zunächst die Folge \((S_n ) _{n\in\mathbb N}\).
Man nennt \(S_n\) die \(n\)-te Partialsumme der Reihe \( \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \).
Falls die Folge \((S_n ) _{n\in\mathbb N}\) konvergiert, nennt man die Reihe konvergent, und bezeichnet den Grenzwert als Summe der Reihe.
Man schreibt dann
Wenn die Folge \((S_n ) _{n\in\mathbb N}\) nicht konvergiert, nennt man die Reihe divergent.
Die geometrische Reihe: Für \( |q| \lt 1 \) gilt
\( \sum\limits_{j=0}^\infty q^j = \dfrac{1}{1-q} \)
Zur Veranschaulichung hilft vielleicht ein interaktives Spielzeug zur geometrischen Reihe (oder ein Video über ein in den Campus Vaihingen eingebettetes Kunstwerk).Die harmonische Reihe \( {\sum\limits_{j=1}^\infty\dfrac1j} \) ist nicht konvergent, die Partialsummen wachsen über jede vorgegebene Grenze hinaus.
Man benutzt die harmonische Reihe vor allem dazu, die Divergenz anderer Reihen nachzuweisen.
Die Exponentialreihe ist gegeben als
(wir summieren ab \( {j = 0} \) ).
In 1.2.8 haben wir die Monotonie und Beschränktheit (und damit die Konvergenz) der Folge \( \left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)_{n\in\mathbb N} \) nachgewiesen.
Dem Grenzwert dieser Folge haben wir den Namen Eulersche Zahl \(\alert{\E}\) gegeben.
Man kann beweisen, dass auch \( \alert{\E} = \sum\limits_{j=0}^\infty \frac1{j!} \) gilt.
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