\( \def\pause{} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\setminus\smallsetminus \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \)

1.9 Konvergenzkriterien für Reihen

1.9.1. Lemma.

Wenn die Reihe \( \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \) konvergiert, dann ist \( (a_n)_{n\in\NN} \) eine Nullfolge (d. h. \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0\)).

1.9.2. Bemerkungen.

Das Kriterium 1.9.1 ist ein notwendiges, aber nicht hinreichendes Kriterium für die Konvergenz der Reihe:

Konvergente Reihen sind speziell gebaute konvergente Folgen. Aus den Grenzwertsätzen für Folgen 1.5.3 ergibt sich damit:

1.9.3. Grenzwertsätze für Reihen.

Es seien \( \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \) und \( \sum\limits_{j=1}^\infty b_j \) konvergente Reihen, und es sei \( c\in\RR \).

Dann sind auch die Reihen \( \sum\limits_{j=1}^\infty c\cdot a_j \) und \( \sum\limits_{j=1}^\infty (a_j+b_j) \) konvergent,

es gilt

\(\displaystyle \sum\limits_{j=1}^\infty c\cdot a_j = c\cdot\sum\limits_{j=1}^\infty a_j \)
und
\(\displaystyle \sum\limits_{j=1}^\infty ( a_j + b_j ) = \sum\limits_{j=1}^\infty a_j + \sum\limits_{j=1}^\infty b_j \,. \)

1.9.4. Definition.

Eine Reihe \( \sum\limits_{j=0}^\infty a_j \) heißt alternierend, wenn die Folge \( (a_n)_{n\in\NN_0} \) alternierend ist.

1.9.5. Leibniz-Kriterium.

Es sei \( \sum\limits_{j=0}^\infty a_j \) eine alternierende Reihe, und es sei dabei \( \bigl(|a_j|\bigr)_{j\in\NN_0} \) eine monotone Nullfolge.

Dann konvergiert die Reihe \( \sum\limits_{j=0}^\infty a_j \), und für jedes \(n\) gilt

\(\displaystyle \biggl|S_n-\sum\limits_{j=0}^\infty a_j\biggr| \le \bigl|a_{n+1}\bigr| \,. \)

Zur Veranschaulichung gibt es ein interaktives Spielzeug.

1.9.6. Beispiel.

Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert die alternierende Reihe

\(\displaystyle \sum\limits_{j=1}^\infty \frac{(-1)^{j+1}}j \) \(\displaystyle {} = 1 - \frac12 + \frac13 -\frac14 +\frac15 - \cdots \)

Wir werden später (in 2.6.14) sehen, dass

\(\displaystyle \sum\limits_{j=1}^\infty \frac{(-1)^{j+1}}j = \ln 2 \)
gilt.

Dadurch, dass wir das Vorzeichen wechseln lassen, haben wir aus der divergenten harmonischen Reihe eine (sehr langsam) konvergierende Reihe gemacht.

(Nur für den Fall, dass Ihnen das aufgefallen ist:
Die aktuelle Formulierung des Leibniz-Kriteriums redet von einer Reihe, die bei \(j=0\) startet, aber in unserem Beispiel starten wir aus gutem Grund erst bei \(j=1\).
Wer es ganz genau nimmt, formuliert die Voraussetzungen im Leibniz-Kriterium für Endstücke, oder behilft sich im Beispiel mit einer Indexverschiebung...)

Wir brauchen einen Begriff, der diejenigen Reihen ausschließt, die nur durch den Vorzeichenwechsel konvergieren:

1.9.7. Definition.

Eine Reihe \(\displaystyle \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \) heißt absolut konvergent, wenn die zugehörige Reihe

\(\displaystyle \sum\limits_{j=1}^\infty |a_j| \)
der Absolutbeträge konvergiert.

Einer der wichtigsten Gründe für das Interesse an absoluter Konvergenz ist der

1.9.8. Umordnungssatz.

Die Summe einer absolut konvergenten Reihe \( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \) ändert sich nicht, wenn man die Reihenfolge der Folgenglieder \(a_n\) ändert. (Anders bei nicht absolut konvergenten Reihen, etwa der alternierenden harmonischen Reihe — siehe 1.9.9.)

Man erhält daraus zum Beispiel für jede absolut konvergente Reihe \( \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \):

\(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty a_n = \sum\limits_{k=1}^\infty a_{2\,k} + \sum\limits_{k=0}^\infty a_{2\,k+1} \,. \)

Das ist etwa nützlich, um Beziehungen zwischen der Exponentialfunktion und den Winkelfunktionen herzuleiten, vgl. 1.14.19.

1.9.9. Beispiele.

  1. Die harmonische Reihe ist weder konvergent noch absolut konvergent.
  2. Die in 1.9.6 betrachtete alternierende harmonische Reihe ist konvergent, aber nicht absolut konvergent.

Die Probleme, die sich beim Umordnen von nicht absolut konvergenten Reihen ergeben, kann man an Hand der alternierenden harmonischen Reihe sehen.

Jede absolut konvergente Reihe ist auch konvergent, das ergibt sich als Spezialfall aus dem folgenden Majoranten-Kriterium: Man setzt \(b_j := |a_j |\).

1.9.10. Majoranten-Kriterium.

Gibt es für die Reihe \(\displaystyle \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \) eine konvergente Reihe \(\displaystyle \sum\limits_{j=1}^\infty b_j \) derart, dass für alle \(j\in\NN\) die Abschätzung \(|a_j | \leqq b_j\) gilt, so ist die Reihe \(\displaystyle \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \) konvergent und absolut konvergent.

1.9.11. Beispiel.

Für \(k \gt 2\) und für alle \(j\in\NN\) gilt \( \frac1{j^k}\le\frac1{j^2}\).

Die Majorante \( \sum\limits_{j=1}^\infty\frac1{j^2}\) ist konvergent nach 1.8.2.

Nach dem Majoranten-Kriterium ist auch die Reihe

\(\displaystyle \sum_{j=1}^\infty\frac1{j^k} \)
konvergent.

Manchmal weist man auch Divergenz durch eine divergente Minorante nach:

1.9.12. Beispiel.

Für alle \(j \in\NN\) gilt \( \frac1j\le\frac1{\sqrt j} \).

Da die harmonische Reihe divergiert (siehe 1.8.5), muss die Reihe

\(\displaystyle \sum_{j=1}^\infty\frac1{\sqrt j} \)
divergieren.

[Sonst würde nach dem Majoranten-Kriterium ja auch die harmonische Reihe konvergieren.]

1.9.13. Quotienten-Kriterium von d’Alembert.

Es sei \(\displaystyle \sum_{j=1}^\infty a_j\) eine Reihe.

Es gebe \(N \in\NN\) so, dass für \(n \geqq N\) stets \(a_n \ne 0\) gilt.

Gibt es ein \(t \in\RR\) mit \(t \lt 1\) und ein \(n_0 \geqq N\) derart, dass gilt

\(\displaystyle \forall\,n>n_0\colon{} % \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le t \,,% \)
so ist die Reihe absolut konvergent.

1.9.14. Bemerkung.

Das im Quotienten-Kriterium auftretende \(t\) muss unabhängig von \(n\) gewählt werden können.

Bei der harmonischen Reihe gilt zwar stets

\( \displaystyle \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac n{n+1} \lt 1 \)
aber wegen
\(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac n{n+1}=1 \)
kann man kein \(t \lt 1\) finden, das oberhalb all dieser Quotienten liegt:

Das Quotienten-Kriterium ist daher nicht anwendbar!

1.9.15. Bemerkung.

Wir betrachten zur Reihe \(\sum\limits_{j=0}^\infty a_j\) die Hilfs-Folge der Quotienten \(\left({\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}\right)_{n\in\NN}\) und deren größten und kleinsten Häufungspunkt \( \limsup\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \) bzw. \( \liminf\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \).

  1. Aus dem Quotienten-Kriterium folgt:
    Gilt \( \redlimsup\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| {\color{red}{{} \lt 1}} \), so ist die Reihe absolut konvergent.
  2. Gilt \( \redliminf\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| {\color{red}{{}>1}} \), so ist die Reihe divergent.
  3. Gilt \( \liminf\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le 1 \le % \limsup\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \), so liefert das Quotienten-Kriterium keine Aussage; es sind dann feinere Untersuchungen nötig.

1.9.16. Wurzel-Kriterium von Cauchy.

Wir betrachten eine Reihe \( \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \).

Die Reihe konvergiert absolut, wenn es \(t \lt 1\) und \(n_0 \in\NN\) so gibt, dass für alle \(n \gt n_0\) gilt: \( \sqrt[n]{|a_n|}\le t \).

Auch hier kann man wieder Häufungspunkte verwenden:

Wenn \( \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \lt 1 \) gilt, konvergiert die Reihe absolut,
im Fall \( \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}>1 \) divergiert sie.

1.9.17. Beispiel.

Auf \( \sum\limits_{j=1}^\infty\frac1{j!} \) wenden wir das Quotienten-Kriterium an:

Wegen

\(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \) \(\displaystyle {} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{1} \) \(\displaystyle {} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} = 0 \lt 1 \)
folgt, dass die Reihe konvergiert.

1.9.18. Beispiel.

Bei der Reihe \( \sum\limits_{j=1}^\infty\frac1{j^2} \) versuchen wir zuerst das Quotienten-Kriterium: Wegen

\(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \) \(\displaystyle {} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)^2}\cdot\frac{n^2}{1} \) \(\displaystyle {} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+2\,n+1} = 1 \)
ist leider keine Anwendung möglich (vgl. 1.9.14).

Das Wurzel-Kriterium hilft auch nicht:

\(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \) \(\displaystyle {} = \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\textstyle\frac1{n^2}} \) \(\displaystyle {} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{(\sqrt[n]{n})^2} = 1 \,. \)

Zum Glück haben wir in 1.8.2 bewiesen, dass die Reihe konvergiert.

1.9.19. Beispiel.

Es sei \(z\in\RR\). Bei der Reihe \( \sum\limits_{j=1}^\infty\frac{z^j}{j!} \) hilft das Quotienten-Kriterium (falls \(z \ne0\):

\(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \) \(\displaystyle {} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{|z^{n+1}|}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{|z^n|} \) \(\displaystyle {} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{|z|}{n+1} \) \(\displaystyle {} = |z|\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} =0 \,. \)

Diese Reihe konvergiert demnach für alle \(z\in\RR\) absolut [der Fall \(z = 0\) ist langweilig].

1.9.20. Beispiel.

Bei der Reihe \( \sum\limits_{j=1}^\infty\frac{x^j}{j} \) hilft das Wurzel-Kriterium:

\(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \) \(\displaystyle {} = \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{x^n}{n}\right|} \) \(\displaystyle {} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{|x|}{\sqrt[n]n} \) \(\displaystyle {} = |x|\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]n} \) \(\displaystyle {} = |x| \,. \)

Für \(|x | \lt 1\) konvergiert demnach die Reihe absolut,
für \(|x | \gt 1\) divergiert sie.

Im Fall \(|x | = 1\) ist mit dem Wurzelkriterium keine Aussage möglich.

(Wir wissen aber: Für \(x = 1\) haben wir die divergente harmonische Reihe, für \(x = −1\) die konvergente alternierende harmonische Reihe.)

1.9.21. Beispiel.

Wir wählen reelle Zahlen \(q_1 , q_2\) mit \(0 \lt q_1 \lt q_2 \lt 1\), und betrachten

\(\displaystyle \sum_{j=1}^\infty a_j \quad\text{ mit }\quad \) \(\displaystyle {} a_n:= \begin{cases} q_1^n & \text{ falls $n$ gerade,} \\ q_2^n & \text{ sonst.} \end{cases} \)

Für das Wurzel-Kriterium berechnen wir

\(\displaystyle \sqrt[n]{|a_n|}= \left\{ \begin{array}{ll} q_1 & \text{ falls $n$ gerade, } \\ q_2 & \text{ sonst.} \end{array}\right. \)

Wegen \(q_1 , q_2 \lt 1\) liefert das Wurzel-Kriterium die absolute Konvergenz der Reihe.

Man beachte: Die Folge \( \left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)_{n\in\NN} \) hat in diesem Beispiel keinen Grenzwert!
Es gilt aber \( \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=q_2 \) und \( \liminf\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=q_1 \); beide Werte sind kleiner als \(1\).

1.9.22. Bemerkung.

Das Quotienten-Kriterium liefert bei der eben betrachteten Reihe keine Aussage.