\( \def\pause{} \newcommand{\alert}[1]{\color{red}{#1}} \def\ds{\displaystyle} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \newcommand{\E}{\mathrm{e}} \newcommand{\I}{\mathrm{i}} \newcommand{\diff}{\mathop{\mathrm{\kern0pt d}}} \newcommand{\diffAt}[3]{\frac{\diff}{\diff{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\partAt}[3]{\frac{\partial}{\partial{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\diffgleich}{\mathbin{\,\mathop{=}\limits^{\,\prime}}\,} \newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}} \newcommand{\Jac}[2]{\mathrm{J}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesse}[2]{\mathrm{H}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesso}[1]{\mathrm{H}{#1}} \)

Das Integral-Vergleichskriterium.

Die Frage nach der Konvergenz einer Reihe ist manchmal schwer zu entscheiden, ebenso die Frage nach der Konvergenz eines uneigentlichen Integrals.

In gewissen Fällen erlaubt uns das Integral-Vergleichskriterium 3.8.1, von zwei Problemen das leichtere auszuwählen und das schwierigere mit zu erledigen:

Man betrachtet hier eine Funktion \( f \colon [1,+\infty) \to\RR \) und dazu sowohl das uneigentliche Integral \( \int\limits_{1}^{+\infty} f(x)\,\diff x \) als auch die Reihe \( \sum\limits_{j=1}^\infty f(j) \).

Das Integral-Vergleichskriterium sagt jetzt:

Wenn \(f\) positiv und monoton fallend ist, dann haben das uneigentliche Integral \( \int\limits_{1}^{+\infty} f(x)\,\diff x \) und die Reihe \( \sum\limits_{j=1}^\infty f(j) \) das gleiche Konvergenzverhalten. (Aber meistens sind die Werte verschieden!)

In der folgenden Skizze sehen Sie für die Funktion

\( f\colon [1,+\infty) \to\RR\colon \) \( x\mapsto x^\alpha \)

(wenn Sie die entsprechenden Schalter rechts eingestellt haben)

Sie können die Grenze \(N\) und den Exponenten \(\alpha\) mit den entsprechenden Reglern variieren.

Beachten Sie, dass die Achsen hier unterschiedlich skaliert sind.