Das Integral-Vergleichskriterium.

Die Frage nach der Konvergenz einer Reihe ist manchmal schwer zu entscheiden, ebenso die Frage nach der Konvergenz eines uneigentlichen Integrals.

In gewissen Fällen erlaubt uns das Integral-Vergleichskriterium 3.8.1, von zwei Problemen das leichtere auszuwählen und das schwierigere mit zu erledigen:

Man betrachtet hier eine Funktion \( f \colon [1,+\infty) \to\RR \) und dazu sowohl das uneigentliche Integral \( \int\limits_{1}^{+\infty} f(x)\,\diff x \) als auch die Reihe \( \sum\limits_{j=1}^\infty f(j) \).

Das Integral-Vergleichskriterium sagt jetzt:

Wenn \(f\) positiv und monoton fallend ist, dann haben das uneigentliche Integral \( \int\limits_{1}^{+\infty} f(x)\,\diff x \) und die Reihe \( \sum\limits_{j=1}^\infty f(j) \) das gleiche Konvergenzverhalten. (Aber meistens sind die Werte verschieden!)

In der folgenden Skizze sehen Sie für die Funktion

\( f\colon [1,+\infty) \to\RR\colon \) \( x\mapsto x^\alpha \)

(wenn Sie die entsprechenden Schalter rechts eingestellt haben)

• das Integral \( I_N := \int\limits_{1}^{N+1} f(x)\,\diff x \),
• die Partialsumme \( O_N := \sum\limits_{j=1}^N f(j) \)
  (die man als Obersumme für \(I_N\) interpretieren kann — wenn \(f\) monoton fällt),
• die Summe \( U_N := \sum\limits_{j=2}^{N+1} f(j) \)
  (die man als Untersumme für \(I_N\) interpretieren kann — wenn \(f\) monoton fällt).

Sie können die Grenze \(N\) und den Exponenten \(\alpha\) mit den entsprechenden Reglern variieren.

Beachten Sie, dass die Achsen hier unterschiedlich skaliert sind.