\( \def\pause{} \def\,{\kern.2em} \def\implies{\Longrightarrow} \newcommand{\alert}[1]{\color{red}{#1}} \def\ds{\displaystyle} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\setminus\smallsetminus \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \newcommand{\E}{\mathrm{e}} \newcommand{\I}{\mathrm{i}} \newcommand{\diff}{\mathop{\mathrm{\kern0pt d}}} \newcommand{\diffAt}[3]{\frac{\diff}{\diff{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\partAt}[3]{\frac{\partial}{\partial{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\diffgleich}{\mathbin{\,\mathop{=}\limits^{\,\prime}}\,} \newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}} \newcommand{\Jac}[2]{\mathrm{J}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesse}[2]{\mathrm{H}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesso}[1]{\mathrm{H}{#1}} \)

3.8. Reihen, Potenzreihen und Integrale

Man kann jede Reihe als uneigentliches Integral interpretieren:

\( \sum\limits_{n=0}^\infty a_n \) \( = \int\limits_0^{+\infty} T(x)\,\diff x \)

für die durch

\( T(x) := a_n \) \( \quad\text{falls $n\le x \lt n+1$} \)

definierte „Treppenfunktion“ \(T\).

Auf jedem beschränkten Intervall ist die Funktion \(T\) integrierbar (nach 3.5.5.)

Zu diesen Treppenfunktionen und dem folgenden Vergleichskriterium gibt es eine interaktive Darstellung.

3.8.1. Integral-Vergleichskriterium.

Die Funktion \( f\colon[m,+\infty)\to\RR \) sei positiv und monoton fallend, dabei sei \( m\in\NN \).

Dann haben \( \sum\limits_{k=m}^\infty f(k) \) und \( \int\limits_m^{+\infty} f(x)\,\diff x \) das gleiche Konvergenzverhalten.

Beweis als Trainingseinheit in Ungleichungen.

Für alle \( k\ge m \) und alle \( x\in[k,k+1] \) gilt:

\( f(k) \ge f(x) \) \( \ge f(k+1) \),

also

\( f(k) \ge \int\limits_k^{k+1} f(x)\,\diff x \) \( \ge f(k+1) \).

Damit gilt

\( \sum\limits_{k=m}^N f(k) \ge \int\limits_m^{N+1} f(x)\,\diff x \) \( \ge \sum\limits_{k=m+1}^{N+1} f(k) \)

und

\( \sum\limits_{k=m}^\infty f(k) \ge \int\limits_m^{+\infty} f(x)\,\diff x \) \( \ge \sum\limits_{k=m+1}^{\infty} f(k) \)

folgt.

3.8.2. Beispiel.

Für \( \alpha \gt 1 \) konvergiert die Reihe \( \sum\limits_{k=1}^\infty \frac1{k^\alpha} \), weil das Integral \( \int\limits_{1}^{+\infty} \frac1{x^\alpha} \,\diff x \) konvergiert (siehe 3.7.8).

Vorsicht: Die Grenzwerte \( \sum\limits_{k=1}^\infty \frac1{k^\alpha} \) und \( \int\limits_{1}^{+\infty} \frac1{x^\alpha} \,\diff x \) sind verschieden!

Z. B. wissen wir für \( \alpha=2 \):

Es ist einerseits \( \sum\limits_{k=1}^\infty \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 \) (vgl. 1.8.3), aber andererseits gilt

\( \int\limits_{1}^{+\infty}\frac1{x^2} \,\diff x \) \( = \lim\limits_{\beta\to+\infty}\left[\frac{-1}x\right]_1^\beta \) \( = \lim\limits_{\beta\to+\infty}\frac{-1}\beta - (-1) \) \( = 1 \).

3.8.3. Bemerkung.

Das Grenzwertkriterium 3.7.11 überträgt sich mit 3.8.1 auf Reihen.

Besonders wichtige Reihen sind Potenzreihen.

3.8.4. Satz.

Es sei \( f(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty a_k\,(x-x_0^{})^k \) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius \( \rho \).

Dann darf \(f\) im Intervall \( (x_0^{}-\rho,x_0^{}+\rho) \) gliedweise integriert bzw. differenziert werden:

Für alle \( x\in(x_0^{}-\rho,x_0^{}+\rho) \) gilt

\( \int\limits_{x_0^{}}^x f(t)\,\diff t \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{a_k}{k+1}\,(x-x_0^{})^{k+1} \) \( = \sum\limits_{j=1}^\infty \frac{a_{j-1}}{j}\,(x-x_0^{})^{j} \)

bzw.

\( f'(x) \) \( = \sum\limits_{k=\alert{1}}^\infty k\,a_k\,(x-x_0^{})^{k-1} \) \( = \sum\limits_{\ell=0}^\infty (\ell+1)\,a_{\ell+1}\,(x-x_0^{})^{\ell} \).

Zum Beweis nutzt man die gleichmäßige Konvergenz der Potenzreihe, wir überlassen dies den Mathematikern.

3.8.5. Beispiel.

Die Funktion \( f\colon \RR\to\RR\colon x\mapsto\E^{\alert{(}-x^2\alert{)}} \) hat die Potenzreihendarstellung

\( \E^{\alert{(}-x^2\alert{)}} \) \( = \exp(\color{blue}{-x^2}) \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{(\color{blue}{-x^2})^k}{k!} \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \, x^{2\,k} \),

die Koeffizienten sind also

\( a_n = \) \( \begin{cases} \frac{(-1)^{\frac n2}}{\frac n2!} & \text{ falls $n$ gerade,}\\ \qquad 0 & \text{ sonst.} \end{cases} \)

Nach Satz 3.8.4 gilt deswegen

\( \int\limits_0^x f(t)\,\diff t \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!\,(2k+1)} \, x^{2\,k+1} \).

3.8.6. Bemerkungen.

Die Funktion \( \E^{(-x^2)} \) ist nicht elementar integrierbar:

Man kann die Stammfunktion (die wir in 3.8.5 als Potenzreihe beschrieben haben) nicht darstellen durch eine algebraische Kombination der „elementaren Funktionen“ (Polynome, \(\exp\) , \(\ln\) , Winkelfunktionen).

Die Potenzreihen in 3.8.5 sind die Taylorreihen der entsprechenden Funktionen im Entwicklungspunkt \( x_0^{}=0 \).

3.8.7. Beispiel.

Eine weitere nicht elementar integrierbare Funktion ist

\( f\colon \RR\setminus\{0\}\to\RR \colon \) \( x\mapsto \begin{cases} \frac{\sin x}x & \text{falls $x\ne0$}\\ 0 & \text{falls $x=0$.} \end{cases} \)

(Diese Funktion ist stetig bei \(x_0=0\) — das sieht man mit 1.12.5, oder mit der Regel von l'Hospital, aber am leichtesten mit der Potenzreihendarstellung.)

Die Stammfunktion hat einen eigenen Namen:

Der Integralsinus \(\operatorname{Si}\) ist gegeben durch

\( \operatorname{Si}x \) \( := \int\limits_{0}^x \frac{\sin t}t\,\diff t \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2\,k+1)!\,(2\,k+1)}\, x^{2\,k+1} \).

In der folgenden Skizze wurde die Funktion \(\operatorname{Si}\) tatsächlich durch Partialsummen dieser Potenzreihe (also Taylorpolynome von \(\operatorname{Si}\)) approximiert &emdash; man sieht auch, dass das nur in genügend kleinen Intervallen gut geht ...

Um zu sehen, dass \(\operatorname{Si}\) eine Stammfunktion von \( \frac{\sin x}x \) ist, beschreibt man \( \sin x \) durch eine Potenzreihe:

\( \sin x \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2\,k+1)!} \,x^{2\,k+1} \);

also

\( \dfrac{\sin x}x \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2\,k+1)!} \,x^{2\,k} \).

Man vergewissert sich [vgl. 1.14.20], dass der Konvergenzradius dieser Reihen \( +\infty \) ist.

Jetzt liefert gliedweise Integration die Behauptung.

3.8.8. Beispiel.

Die geometrische Reihe beschreibt \( \dfrac1{1-x} \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty x^k \) für \(|x | \lt 1\):

Gliedweise Differentiation der rechten Seite und einfaches Ableiten der linken Seite liefern (für \(|x| \lt 1\)):

\( \ds\frac1{(1-x)^2} \) \( = \sum\limits_{k=\alert{1}}^\infty k\,x^{k-1} \) \( = \sum\limits_{j=0}^\infty (j+1)\,x^{j} \).

Dieses Vorgehen eignet sich also (manchmal), um den Grenzwert einer Reihe zu bestimmen.