Die Umkehrfunktionen zu den Hyperbel-Funktionen (sinh und cosh) und Flächen an der Hyperbel

(Zum Kontext: Nummer 2.2.12 in der HM 2 finden Sie in Abschnitt 2.2, die Ableitung der Umkehrfunktion \(\arsinh\) in 2.3.3, und die benötigte Integrationstechnik in 3.2.2.)

Um Verwirrung möglichst zu vermeiden, schreiben wir die Variable in den folgenden Funktionen als \(t\) (und nicht, wie sonst oft üblich, als \(x\)).

Die hyperbolischen Funktionen \( \sinh (t) := \frac12 \bigl( \E^t - \E^{-t} \bigr) \) und \( \cosh (t) := \frac12 \bigl( \E^t + \E^{-t} \bigr) \) erfüllen die Beziehung \( \bigl(\cosh(t)\bigr)^2-\bigl(\sinh(t)\bigr)^2 = 1 \).

Die Funktion \( \sinh \colon \RR \to \RR \) ist bijektiv, die Umkehrfunktion heißt Areasinus hyperbolicus (in anständigem Latein eigentlich area sinus hyperbolici) und wird mit \(\arsinh\) bezeichnet.

Area bedeutet Fläche:

Um welche Fläche geht es hier?

Um die Umkehrfunktion \(\arsinh\) zu \(\sinh\) bequem zu illustrieren, betrachten wir die Punkte in der Ebene, die sich als \( \binom{x_1}{x_2} = \binom{\sinh(t)}{\cosh(t)} \) schreiben lassen.
(Vorsicht: im Vergleich zur Darstellung hier haben wir die Rollen von \(x_1\) und \(x_2\) vertauscht.)

Diese erfüllen die Hyperbel-Gleichung \(x_1^2-x_2^2 + 1 = 0 \).

Sie füllen aber nicht die gesamte dadurch definierte Hyperbel aus [weil \(\cosh(t)\) immer positiv ist], sondern nur den oberen Ast dieser Hyperbel.

Der von den Punkten \(\binom{\sinh(t)}{\cosh(t)} \) durchlaufene Ast der Hyperbel (in der Skizze rot) wird dann der Graph einer Funktion \(f\colon\RR\to\RR\):
Für \(x_2\gt0\) können wir die Beziehung \(x_1^2-x_2^2 + 1 = 0 \) auflösen zu \(x_2 = f(x_1) := \sqrt{1+x_1^2} \).

Wir betrachten eine fest gewählte Stelle \(b\gt0\) und dazu die beiden Punkte \(\binom{b}{f(b)}\) bzw. \(\binom{-b}{f(-b)}\) auf dem oberen Ast der Hyperbel.

Dann gibt es \( t\gt0 \) so, dass \(\binom{b}{f(b)} = \binom{\sinh(t)}{\cosh(t)}\)  [nämlich \(t = \arsinh(b)\)].

Durch die Verbindungstrecken von \( \binom00 \) mit \( \binom{b}{f(b)} = \binom{\sinh(t)}{\cosh(t)} \) bzw. von \( \binom00 \) mit \( \binom{-b}{f(-b)} = \binom{-b}{f(b)} = \binom{-\sinh(t)}{\cosh(t)} = \binom{\sinh(-t)}{\cosh(-t)} \) und dem durch \( \bigset{\binom{\sinh(u)}{\cosh(u)}}{u\in[-t,t]} \) gegebenen Stück des Graphen von \(f\) ein (in der Skizze zweifarbig markiertes) Flächenstück begrenzt, dessen Inhalt \(A\) sich ergibt als \( A = t = \arsinh b \).

Sie können die Stelle \(b\) auf der \(x_1\)-Achse bewegen, die Punkte \( \binom{b}{f(b)} = \left(\begin{smallmatrix}{\sinh(t)}\\{\sqrt{1+(\sinh(t))^2}}\end{smallmatrix}\right) = \binom{\sinh(t)}{f(\sinh(t))} \) und \( \binom{-b}{f(-b)} \) auf dem oberen Ast der Hyperbel bewegen sich dann mit.

Links außen ist der Flächeninhalt \(A = \arsinh(b)\) zur Unterstützung der Anschauung auch noch durch ein Rechteck angedeutet.

Die strichpunktierten Linien deuten die beiden Asymptoten der Hyperbel an; diese sind gegeben durch die Quadrik-Gleichung \( -x_1^2+x_2^2 = 0 \).

Beweis der Behauptung

Die Hälfte der fraglichen Fläche (in der Skizze blau gefärbt) können wir als Differenz von zwei Integralen bestimmen:

\( \frac12A = \displaystyle \int\limits_0^b f(x_1) \diff x_1 - \int\limits_0^b \frac{f(b)}{b}\kern.2em x_1 \diff x_1 \).

Um diese Integrale auszuwerten, berechnen wir zuerst das unbestimmte Integral

\( I := \displaystyle \int f(x) \kern.2em \diff x \) \( = \displaystyle \int \sqrt{1+x^2} \kern.2em \diff x \) \( = \displaystyle \left[ x\sqrt{1+x^2} \right] - \int \frac{x^2} {\sqrt{1+x^2}} \kern.2em \diff x \)

[hier wurde \( f(x) \kern.2em g'(x)\) partiell integriert (siehe 3.2.2) mit \( f(x) = \sqrt{1+x^2} \) und \( g'(x)=1 \), also \( f'(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \) und \( g(x) = x \) ]

mit Hilfe von \( \displaystyle \int \frac{x^2} {\sqrt{1+x^2}} \kern.2em \diff x \) \( = \displaystyle \int \frac{1+x^2} {\sqrt{1+x^2}} - \frac{1} {\sqrt{1+x^2}} \kern.2em \diff x \) \( = \displaystyle \int {\sqrt{1+x^2}} \kern.2em \diff x - \int \frac{1} {\sqrt{1+x^2}} \kern.2em \diff x \) \( = \displaystyle I - \left[\strut \arsinh(x) \right] \)

[hier wurde \(\frac{\diff}{\diff x}\arsinh(x) = \frac1{\sqrt{1+x^2}} \) benutzt, siehe 2.3.3].

Damit gilt \( 2I = \left[ x\sqrt{1+x^2} +\arsinh(x) \right] \), also \( I = \frac12\left[ x\sqrt{1+x^2} +\arsinh(x) \right] \).

Das gesuchte Integral ergibt sich als

\( A = \displaystyle \int\limits_0^b f(x) \kern.2em \diff x - \int\limits_0^b \frac{f(b)}{b} \kern.2em x \diff x \) \( = \displaystyle \frac12\left[ x\sqrt{1+x^2} +\arsinh(x) \right]_0^b - \left[\textstyle\frac{f(b)}{2b}x^2 \right]_0^b \) \( = \frac12\left[\strut \arsinh(x) \right]_0^b \) \( = \frac12 \arsinh(b) = \frac12 t \).

Also gilt \( A = t \), wie behauptet.

Ja, Sie haben Recht: Auch für negative Werte von \(b\) passt das alles zusammen; wieder mit \( t = \arsinh(b)\).
Sie müssen dann halt \( \bigset{\binom{\sinh(u)}{\cosh(u)}}{u\in[t,-t]} \) für die krumme Begrenzungslinie des Flächenstücks nehmen
— und beim Integrieren auf die Vorzeichen aufpassen.

Näheres zum Zusammenhang mit der Exponentialfunktion finden Sie hier.