(Den vollständigen Abschnitt 1.12 finden Sie hier.)

1.12.5. Beispiel (interaktive Fassung).

Wir wollen $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$ und $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan x}{x}}$ verstehen.

Wegen $\underset{x\to 0}{lim}\sin x=0=\underset{x\to 0}{lim}\tan x=\underset{x\to 0}{lim}x$ und $$ haben beide Ausdrücke die Form „$\frac{0}{0}$” , man kann also die Grenzwertsätze nicht direkt anwenden.

Wir benutzen die Ungleichungen $0<x<\frac{\pi }{2}⟹\sin x<x<\tan x.$ Anschaulich wird diese Relation an folgender Skizze (hier ist $x$ die Länge des gelben Bogens, Sie können den roten dicken Punkt bewegen und die Auswirkungen für $\sin (x)$, $\cos (x)$ und $\tan (x)$ beobachten):

Für $0<x<\frac{\pi }{2}$ gilt $\frac{\sin x}{x}<1$ und $1<\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x\cdot \cos x}$, also $\cos x<\frac{\sin x}{x}$.

Damit erhalten wir ein „Sandwich” $\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$.

Nun gilt $\underset{x\to 0+0}{lim}\cos x=1=\underset{x\to 0+0}{lim}1$, wie im Sandwichsatz 1.5.6 konvergiert also auch der mittlere Term, und wir schließen $\underset{x\to 0+0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$.

Als Grenzwert von links erhalten wir $\underset{x\to 0+0}{lim}\frac{\sin (-x)}{-x}=\underset{x\to 0+0}{lim}\frac{\sin x}{x}$, also gilt insgesamt $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$.

Den zweiten gesuchten Grenzwert erhalten wir nun aus $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}(\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x})=1$.