Ein Vektorfeld, Kurven, Kurvenintegrale und ein Potential

Das Kurvenintegral \(\int\limits_Kg(x)\skalp\diff x\) längs einer Kurve \(K\) bezüglich eines Vektorfelds \(g\) berechnet z.B. die Arbeit, die man verrichtet, wenn man längs der gegebenen Kurve \(K\) gegen ein durch \(g\) beschriebenes Kraftfeld angeht.

Im Allgemeinen berechnet man so ein Kurvenintegral, indem man die Kurve \(K\) regulär parametrisiert durch eine Parametrisierung \( C \colon[a,b] \to \RR^n \colon f \mapsto C(t) \) und dann das Integral \( \int\limits_a^b g(C(t))\skalp C'(t) \diff t \) auswertet (siehe 5.3.1).

Oft kann man nicht die ganze Kurve auf einmal regulär parametrisieren, sondern zerlegt sie in mehrere Kurvenstücke (das passiert auch im Beispiel unten).

Wenn das Vektorfeld \(g\) ein Gradientenfeld ist (manche sagen ein konservatives Feld dazu), kann man sich das Leben unter Umständen wesentlich leichter machen, indem man sein Potential nutzt.

Sie können den Punkt \(P\) auf der Kurve entlang treiben, indem Sie den mit \(P^*\) markierten Punkt auf der Skala unter der Skizze bewegen. Dabei läuft an \(P\) angehängt ein gelber Vektor tangential zur Kurve mit. Das von \(P\) seit dem Anfangspunkt \(C_1(-\frac14) = \binom{-3/2}{-1/4}\) durchlaufene Kurvenstück ist grün markiert.

Je nachdem, in welchem Teil der Skala sich \(P^*\) befindet, wird die Parametrisierung für das entsprechende Kurvenstück verwendet, um \(P\) auf der Kurve zu zeichnen. (Dabei wird jeweils ein Intervall der Skala passend auf das Definitionsintervall für die Parametrisierung \(C_k\) gespreizt.)

Durch Bewegen der Punkte \(A^*\) und \(B^*\) auf der untersten Skala legen Sie zwei Punkte \(A\) und \(B\) auf der Kurve fest.

Im weiß unterlegten Feld wird simultan das Kurvenintegral längs des Teilstücks \(K_{A,B}\) der Kurve \(K\) berechnet, das von \(A\) und \(B\) begrenzt wird. Dieses Kurvenstück wird durch eine weiße Punktierung auf \(K\) angedeutet.

Versuchen Sie, für verschiedene Wahlen von \(A\), \(B\) den Wert des Kurvenintegrals an Hand des Verlaufs des Felds entlang der Teilkurve \(K_{A,B}\) grob vorherzusagen. Überprüfen Sie Ihre Vorhersage dann, indem Sie \(A^*\) und \(B^*\) passend einstellen und den berechneten Wert für \(\int\limits_{K_{A,B}} g(x)\skalp\diff x\) im weißen Feld ablesen.

Für diese Berechnung wird das Potential \(f\) von \(g = \nabla f\) verwendet — deswegen geht das so fix.

Da im interaktiven Bereich oben die Formeln vielleicht zu klein sind, um sie bequem zu lesen, hier noch einmal die Parametrisierungen (als Service für frühzeitig altersweitsichtige Benutzer):

\( C_1\colon[-\frac14,\frac12]\to\kern.1em\mathbb{R}^2\colon \) \( t\mapsto\ds\binom{-1+2t}{t} \)

\( C_2\colon[0,\pi]\to\kern.1em\mathbb{R}^2\colon \) \( t\mapsto\ds\frac12\binom{1}{-1}+\frac12\binom{\cos t}{\sin t} \)

\( C_3\colon[-1,1]\to\kern.1em\mathbb{R}^2\colon \) \( t\mapsto\ds\binom{t}{-\cos(\frac\pi2t)-\frac12t} \)

\( C_4\colon[\frac12\pi,\frac52\pi]\to\kern.1em\mathbb{R}^2\colon \) \( t\mapsto\ds\binom10+\binom{\cos t}{-\frac12\sin t} \)

\( C_5\colon[0,\frac32]\to\kern.1em\mathbb{R}^2\colon \) \( t\mapsto\ds\binom{1}{-t-\frac12} \)

\( C_6\colon[0,1]\to\kern.1em\mathbb{R}^2\colon \) \( t\mapsto\ds\binom{1-\frac52t}{-2+\frac74t+\frac17\sin(7\pi t)} \)

Falls Sie jemals ein Kurvenintegral bezüglich eines Gradientenfeldes berechnen wollen:
Nutzen Sie Ihr Potential!