HM (Analysis) 1.11

$ \def\pause{} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\setminus\smallsetminus \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} $

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HM 2

2.1 ↳

1.11. Grenzwerte von Funktionen

Wir wollen eine Funktion an Löchern im Definitionsbereich oder am Rand stetig ergänzen - so weit das möglich ist.

Wir betrachten dazu Punkte im Abschluss des Definitionsbereichs (d. h.: Punkte $x_0$, für die jede Umgebung von $x_0$ wenigstens einen Punkt des Definitionsbereichs enthält)
- bei Punkten, die vom Definitionsbereich isoliert liegen, können wir nicht erwarten, dass die Funktion sich eindeutig (stetig) fortsetzen lässt!

Wir führen die folgenden Begriffe ein:

1.11.1. Definition.

Gegeben seien eine Funktion $f \colon M \to \RR$ mit Definitionsbereich $M\subseteq\RR$ und $x_0$ im Abschluss von $M$.

$f$ besitzt in $x_0$ den (beidseitigen) Grenzwert $g$, wenn gilt:
$ \forall\,\epsilon>0\pause\quad \exists\,\delta>0\pause\quad \forall\,x\in U_\delta(x_0)\cap M\colon{} $ $ f(x)\in U_\epsilon(g) \,. $
Wir schreiben in diesem Fall $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g $ oder $ f(x)\konv[x\to x_0]g $.
$f$ besitzt in $x_0$ den rechtsseitigen Grenzwert $g$, wenn gilt:
$ \forall\,\epsilon \gt 0\quad \exists\,\delta \gt 0 \quad \forall\,x\in U_\delta(x_0)\cap M\colon{} $ $ \bigl(\, x_0\lt x \implies f(x)\in U_\epsilon(g)\,\bigr) \,. $
Wir schreiben in diesem Fall $ \lim\limits_{x\to x_0{\color{red}{{}+0}}}f(x)=g $ oder $f(x)\konv[{\color{red}{x\searrow x_0}}]g$.
$f$ besitzt in $x_0$ den linksseitigen Grenzwert $g$, wenn gilt:
$ \forall\,\epsilon \gt 0\pause\quad \exists\,\delta \gt 0\pause\quad \forall\,x\in U_\delta(x_0)\cap M\colon{} $ $ \bigl(\, x \lt x_0 \implies f(x)\in U_\epsilon(g)\,\bigr) \,. $
Wir schreiben in diesem Fall $ \lim\limits_{x\to x_0{\color{red}{{}-0}}}f(x)=g $ oder $f(x)\konv[{\color{red}{x\nearrow x_0}}]g$.

Manchmal werden auch die Kurzschreibweisen $ f(x_0 {\color{red}{{}+0}}) := \lim\limits_{x\to x_0{\color{red}{{}+0}}}f(x)=g $ bzw. $ f(x_0\ {\color{red}{{}-0}}) := \lim\limits_{x\to x_0{\color{red}{{}-0}}}f(x)=g $ benutzt.

Anschaulich ausgedrückt: Beim rechtsseitigen Grenzwert suchen wir die Grenzlage von $f (x )$, wenn $x$ von rechts gegen $x_0$ strebt.

Selbst wenn sowohl ein rechts- als auch ein linksseitiger Grenzwert existiert, braucht es keinen beidseitigen Grenzwert zu geben:

1.11.2. Beispiel.

Die Funktion

$ f \colon \RR \setminus\{0\} \to \RR \colon x \mapsto \dfrac{|x |}{x} $ $ {} = \begin{cases} -1 & \text{ falls $x \lt 0$,}\\ \phantom-1 & \text{ falls $x \gt 0$} \end{cases} $

hat in $x_0 =0$ die einseitigen Grenzwerte

$ \lim\limits_{x\to 0-0}f(x) $ $ {} = \lim\limits_{x\to 0-0}-1 $ $ {} = -1 $

und

$ \lim\limits_{x\to 0+0}f(x) $ $ {} = \lim\limits_{x\to 0+0}1 $ $ {} = 1 $.

1.11.3. Definition.

Analog zur bestimmten Divergenz von Folgen 1.4.10 betrachtet man auch bestimmte Divergenz von Funktionen gegen $+\infty$ oder gegen $-\infty$.

Wir erweitern die Begriffsbildung, um das Verhalten einer Funktion an den Rändern „im Unendlichen“ zu beschreiben. Wir müssen dabei sicherstellen, dass „$+\infty$ im Abschluss von $M$ liegt“.

1.11.4. Definition.

Es sei $f \colon M \to \RR$ eine Funktion.

Ist $M$ nicht nach oben beschränkt, so besitzt $f$ in $+\infty$ den Grenzwert $g$, wenn gilt
$\displaystyle \forall\,\epsilon>0\pause\quad \exists\, s\in\RR \pause\quad \forall\,x\in M\colon{}\pause\quad $ $ \bigl(\,s \lt x \implies f(x)\in U_\epsilon(g) \,\bigr) \,. $
Wir schreiben dann $ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=g $.
Ist $M$ nicht nach unten beschränkt, so besitzt $f$ in $-\infty$ den Grenzwert $g$, wenn gilt
$\displaystyle \forall\,\epsilon>0\pause\quad \exists\, S\in\RR\pause\quad \forall\,x\in M\colon{}\pause\quad $ $ \bigl(\,x \lt S \implies f(x)\in U_\epsilon(g) \,\bigr) \,. $
Wir schreiben dann $ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=g $.

An den Rändern im Unendlichen kann man auch bestimmte Divergenz betrachten:

Ist $M$ nicht nach oben beschränkt, so ist $f$ in $+\infty$ bestimmt divergent gegen $+\infty$, wenn gilt
$\displaystyle \forall\,t\in\RR\pause\quad \exists\,s\in\RR\pause\quad \forall\,x\in M\colon{}\pause\quad $ $ \bigl(\,s \lt x \implies t \lt f(x)\,\bigr) \,. $
Wir schreiben dann $ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty $.
Analog definiert man $ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty $ bzw. $ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty $.

1.11.5. Beispiel.

Die Funktion $f \colon \RR \setminus\{0\} \to \RR \colon x \mapsto \frac1x $ hat in $+\infty$ und $-\infty$ jeweils den Grenzwert $ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0 $ und $ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0 $.

Das Verhalten bei $x_0$ = 0 wird beschrieben durch $ \lim\limits_{x\to0-0}f(x)=-\infty $ und $ \lim\limits_{x\to0+0}f(x)=+\infty $.

1.11.6. Beispiel.

Die Funktion $ f\colon\RR\setminus\{0\}\to\RR\colon{}\pause x\mapsto x+\frac1x $ ist in $+\infty$ und $-\infty$ jeweils bestimmt divergent:

$ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty $

Das Verhalten bei $x_0$ = 0 wird beschrieben durch $ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty $.

(Zur besseren Veranschaulichung ist die Winkelhalbierende $y = x$ mit eingezeichnet.)

1.11.7. Beispiel.

Wir betrachten die Funktion $ f \colon M \to \RR \colon x \mapsto x\mapsto \dfrac{x^3+2\,x+1}{3\,x^3+5} $.

Dabei ist $ M:=\RR\setminus\set{x\in\RR}{3\,x^3=-5} $.

Explizit müssen wir den Punkt $ x_0 := -\sqrt[3]{\frac53} $ ausnehmen.

Eine erste Skizze des Graphen sieht so aus:

Offenbar gilt $ \lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)=+\infty $ und $ \lim\limits_{x\to x_0+0}f(x)=-\infty $.

Was kann man über $ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) $ oder $ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x) $ sagen?

Eine etwas bessere Skizze des Graphen (hier können Sie die (hell bzw. dunkel) roten und blauen Punkte auf der $x$-Achse interaktiv bewegen, um das Grenzverhalten zu erahnen) führt auf die Vermutung $ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x) =\dfrac13 = \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) $.

Diese Vermutung ist korrekt, dies ergibt sich aus einem allgemeinen Ergebnis:

1.11.8. Satz.

Es sei $f \colon M \to \RR$ eine gebrochen rationale Funktion, also $ f(x)=\frac{a(x)}{b(x)} \,, $ mit Polynomen $ a(x)=a_n\,x^n+\cdots+a_0 $ und $ b(x)=b_k\,x^k+\cdots+b_0 $, und $ M=\RR\setminus\set{x\in\RR}{b(x)=0} $.

Sind $n$ und $k$ minimal gewählt (also $ a_n\ne0\pause\ne b_k $ ), so gilt:

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) \pause = \begin{cases} \phantom+0 & \text{ falls $n \lt k$, } \\\pause +\infty & \text{ falls $n \gt k$ und $a_nb_k \gt 0$, }\\\pause -\infty & \text{ falls $n \gt k$ und $a_nb_k \lt 0$, }\\\pause \phantom+\dfrac{a_n}{b_n} & \text{ falls $n=k$. } \end{cases} $

Für $ \lim\limits_{x\to-\infty} f(x) $ gelten analoge Regeln, man muss aber noch berücksichtigen, ob $n$ bzw. $k$ gerade oder ungerade ist.

1.11.9. Definition.

Eine Funktion $f \colon M \to \RR$ heißt linksseitig (bzw. rechtsseitig) stetig in $x_0$ , wenn gilt: $x_0\in M$ und $ \lim\limits_{x\to x_0+0}f(x)=f(x_0) $ bzw. $ \lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)=f(x_0) \,. $

1.11.10. Lemma.

Eine Funktion $f \colon M \to \RR$ ist genau dann stetig in $x_0$, wenn sie links- und rechtsseitig stetig in $x_0$ ist.

In diesem Fall gilt $ \lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0+0}f(x)\pause \quad\bigl[{}=f(x_0)\bigr] $.