\( \def\pause{} \newcommand{\alert}[1]{\color{red}{#1}} \def\ds{\displaystyle} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\setminus\smallsetminus \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \newcommand{\E}{\mathrm{e}} \newcommand{\I}{\mathrm{i}} \newcommand{\diff}{\mathop{\mathrm{\kern0pt d}}} \newcommand{\diffAt}[3]{\frac{\diff}{\diff{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\partAt}[3]{\frac{\partial}{\partial{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\diffgleich}{\mathbin{\,\mathop{=}\limits^{\,\prime}}\,} \newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}} \newcommand{\Jac}[2]{\mathrm{J}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesse}[2]{\mathrm{H}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesso}[1]{\mathrm{H}{#1}} \)

3.3. Substitution

Wir haben bereits das Verfahren der partiellen Integration als Gegenstück zur Produktregel kennengelernt.

Wir wollen jetzt ein Gegenstück zur Kettenregel (2.2.3) einführen.

Dazu betrachten wir eine Funktion

\( f\colon I_2\to\RR\colon \) \( x\mapsto f(x) \).

Wenn wir die Variable \(x\) selbst als Funktion einer anderen Variablen \(t\) auffassen, betrachten wir eine Funktion

\( \alert{x}\colon I_1\to I_2\colon{} \) \( t\mapsto \alert{x(t)} \).

3.3.1. Substitutionsregel.

Ist \({\color{blue}{x}}\) differenzierbar und beschreibt \(F\) eine Stammfunktion von \(f\), so gilt:

\( \int\limits f(x) \,\diff x \) \( = \bigl[F\circ {\color{blue}{x}}\bigr] \) \( = \int\limits f\bigl({\color{blue}{x}}(t)\bigr)\,{\color{blue}{x}}'(t)\,\diff t \).

Hier wird die linke Seite aufgefasst als Menge von Funktionen

\( (F\circ {\color{blue}{x}})+c\colon \) \( t\mapsto F\bigl({\color{blue}{x}}(t)\bigr)+c \)

in der Veränderlichen \(t\).

Beweis der Substitutionsregel (durch simples Nachrechnen/Probe):

Nach der Kettenregel 2.2.3 gilt:

\( \diffAt{F\bigl({\color{blue}{x}}(t)\bigr)}{t}{t_0} \) \( = \diffAt{F(x)}{x}{x(t_0)} \cdot \diffAt{{\color{blue}{x}}(t)}{t}{t_0} \) \( = f\bigl({\color{blue}{x}}(t_0)\bigr)\,{\color{blue}{x}}'(t_0) \).

Also ist die Verkettung \( F\circ {\color{blue}{x}} \) eine Stammfunktion von \( f\bigl({\color{blue}{x}}(t)\bigr)\,{\color{blue}{x}}'(t) \).

Es gilt demnach \( \left[F\circ {\color{blue}{x}}\right] \) \( = \int f\bigl({\color{blue}{x}}(t)\bigr)\,{\color{blue}{x}}'(t)\,\diff t \).

Das war die Behauptung.

3.3.2. Formale Merkregel.

Wir können die Formel aus 3.3.1 auch schreiben als

\( \int f(x)\,\diff x \) \( = \int f\bigl(x(t)\bigr)\,\frac{\diff x(t)}{\diff t}\,\diff t \) \( = \int f(x)\,\frac{\diff x}{\diff t}\,\diff t \).

Bei der Substitutionsregel scheint man also den Ausdruck „\(\diff t\)“ zu „kürzen“. Dies ist sinnlos, weil \(\diff t\) keine reelle Zahl ist.

3.3.3. Substitution bei bestimmten Integralen.

Es sei \( {\color{blue}{x}}\colon I_1\to I_2\subseteq\RR \) differenzierbar, und die Funktion \( f\colon I_2\to\RR \) habe eine Stammfunktion.

Für alle \( a,b\in I_1 \) gilt dann \( \ds \int_a^b f\bigl({\color{blue}{x}}(t)\bigr) \, {\color{blue}{x}}'(t) \,\diff t \) \( = \ds \int_{{\color{blue}{x}}(a)}^{{\color{blue}{x}}(b)} f(x) \,\diff x \).

Beweis durch Nachrechnen:

Wir benutzen die Stammfunktionen \( F:=F_{{\color{blue}{x}}(a)} \colon \) \( x\mapsto \int\limits_{{\color{blue}{x}}(a)}^x f(u)\,\diff u \) für \(f (x )\) und \( F\circ {\color{blue}{x}} \) für \( f\bigl({\color{blue}{x}}(t)\bigr) \, {\color{blue}{x}}'(t) \), vgl. 3.3.1.

Die linke Seite ist dann \( \left[F\circ {\color{blue}{x}}\right]_a^b \) \( = \ds (F\circ {\color{blue}{x}})(b)-(F\circ {\color{blue}{x}})(a) \) \( = F\bigl({\color{blue}{x}}(b)\bigr)-F\bigl({\color{blue}{x}}(a)\bigr) \) \( = \ds F_{{\color{blue}{x}}(a)}\bigl({\color{blue}{x}}(b)\bigr) \) \( = \int\limits_{{\color{blue}{x}}(a)}^{{\color{blue}{x}}(b)} f(x) \,\diff x \).

Eine geeignete Substitution hilft oft, ein zunächst unzugängliches Integral zu berechnen. Dabei wird man meist eine bijektive Funktion \(x (t )\) benutzen, um resubstituieren zu können.

3.3.4. Beispiel (Lineare Substitution).

Für \(x (t ) = mt + k\) mit Konstanten \(m\), \(k\) und \(m\ne0\) gilt \( \frac{\diff x}{\diff t}=m \) und damit

\( \ds\int_a^b f(mt+k)\,\diff t \) \( = \ds\int_a^b f(x(t)) \, \) \( = \ds\alert{\frac1m}\int\limits_{t=a}^{t=b} f(x(t)) \,\alert{m}\,\diff t \) \( = \ds\alert{\frac1m}\int\limits_{t=a}^{t=b} f(x(t)) \alert{\,\frac{\diff x}{\diff t}}\,\diff t \) \( = \ds\frac1m\int\limits_{x=\alert{ma+k}}^{x=\alert{mb+k}} f(x) \,\diff x \).

3.3.5. Beispiel.

Auf dem Intervall \( I_2:=(-1,1) \) suchen wir eine Stammfunktion für \( f(x)=\sqrt{1-x^2} \).

Wir substituieren mit \( x\colon I_1:=\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)\to I_2\colon \) \( t\mapsto x(t):=\sin t \).

Mit \( x'(t)=\cos t \) erhält man \( \ds\int\sqrt{1-x^2} \,\diff x \) \( = \ds\int\sqrt{1-(\sin t)^2} \, \cos t \,\diff t \) \( = \ds\int(\cos t)^2 \,\diff t \)

[weil \(\cos t\) für \(t\in(-\frac\pi2,\frac\pi2)\) positiv ist]

\( = \ds\int\left(\frac12+\frac12\cos(2\,t)\right)\,\diff t \) \( = \ds\int\frac12\,\diff t + \frac12\int \cos(2\,t) \,\diff t \) \( = \ds\left[\frac12\,t +\frac14\,\sin(2\,t) \right] \) \( = \ds\left[\frac12\,t + \frac12\,\sin t \cos t \right] \).

Wir haben hier die Identitäten \( (\cos t)^2= \frac12(1+\cos(2\,t)) \) und \( \frac12\,\sin(2\,t) = \sin t \cos t \) benutzt.
Diese verifiziert man am schnellsten mit der Formel von Euler und de Moivre 1.14.18:
\( \cos(2\,t) + \I\,\sin(2\,t) \) \( = \E^{\I\,2\,t} \) \( = (\E^{\I\,t})^2 \) \( = ( \cos t + \I\,\sin t )^2 \) \( = (\cos t)^2 - (\sin t)^2 + 2\,\I\,\cos t\,\sin t \) \( = (\cos t)^2 - \left(1-(\cos t)^2\right) + 2\,\I\,\cos t\,\sin t \) \( = 2\,(\cos t)^2 -1 + 2\,\I\,\cos t\,\sin t \).
Jetzt muss man nur noch Real- und Imaginärteil vergleichen.

Durch Resubstitution

\( t=\arcsin x \),

also \( \cos t=\sqrt{1-x^2} \)

erhält man schließlich

\( \int\sqrt{1-x^2} \,\diff x \) \( = \left[ \frac12 \,\left(\arcsin x + x\cdot\sqrt{1-x^2}\right)\right] \).

3.3.6. Beispiel.

Ist \( f\colon I\to\RR \) differenzierbar und gilt \( f(x)\ne0 \) für alle \( x\in I \), so ergibt sich

\( \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,\diff x \) \( = \left[\strut\ln\alert{\bigl|}f(x)\alert{\bigr|}\right] \).

Rechenweg:

Es gilt \( \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,\diff x \) \( = \int \frac{1}{f}\,\frac{\diff f}{\diff x}\,\diff x \) \( = \int \frac{1}{f}\,\diff f \) \( = \left[\strut\ln\,\alert{|}f\alert{|}\right] \)

— die Betragsstriche sind wichtig!

3.3.7. Beispiel.

Mit 3.3.6 erhalten wir (für \(f (x ) = \sin x \)):

\( \int \cot x \,\diff x \) \( = \int \frac{\cos x}{\sin x} \,\diff x \) \( = \bigl[\ln |\sin x|\bigr] \).

Man muss das Intervall hier so wählen, dass es keine Nullstelle von enthält (also kein ganzzahliges Vielfaches von \(\pi\)).
Wegen des Vorzeichens von \(\sin x\) sind die Betragsstriche dringend nötig!