\( \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\diff}{\mathop{\mathrm{\kern0pt d}}} \newcommand{\diffAt}[3]{\frac{\diff}{\diff{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\partAt}[3]{\frac{\partial}{\partial{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\diffgleich}{\mathbin{\,\mathop{=}\limits^{\,\prime}}\,} \newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}} \newcommand{\Jac}[2]{\mathrm{J}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesse}[2]{\mathrm{H}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesso}[1]{\mathrm{H}{#1}} \)
HM 2: Extrema unter Nebenbedingungen

X16: Extrema unter Nebenbedingungen

Die Funktion

\( f\colon \RR^2\to\RR\colon \) \( \binom xy\mapsto x\,(y-x) \)

ist auf ganz \( \RR^2 \) beliebig oft stetig partiell differenzierbar.

Die Skizze veranschaulicht die relativen Extrema der Funktion \(f\) unter der Nebenbedingung \(x^2y-x^3-x^2-1=0\).

Die Darstellung des Funktionsgraphen links können Sie interaktiv bewegen, um sich einen besseren Eindruck zu verschaffen.

Dabei ist die rote Achse die \(x\)-Achse, die grüne ist die \(y\)-Achse, und die blaue Achse ist die \(z\)-Achse, auf der wir die Funktionswerte abtragen, um den Graphen der Funktion im Raum zu realisieren.

Dargestellt sind außer dem Funktionsgraphen auch noch zwei horizontale Ebenen (gegeben durch \(z=\pm2\)), diese schneiden den Graphen in Konturlinien; die Projektion einer solchen Konturlinie in den Definitionsbereich der Funktion \(f\) ist dann eine Niveaulinie (hier zum Niveau \(2\) bzw. \(-2\)).

Außerdem zeigt die Skizze zwei Teile (rot bzw. grün) der Linie, die aus allen Punkte \(\left(\begin{smallmatrix}x\\y\\f\binom xy\end{smallmatrix}\right)\) auf dem Graphen besteht, bei denen die Stelle \(\binom xy\) der Nebenbedingung \(g\binom xy=0\) genügt, wobei \(g\colon\RR^2\to\RR\colon \binom xy\mapsto x^2y-x^3-x^2-1\).

Der rote Teil dieser Linie berührt die Ebene \(z=2\) von oben: Am Berührpunkt finden wir einen relatives Minimum unter der Nebenbedingung.

Der grüne Teil dieser Linie berührt die Ebene \(z=-2\) von unten: Am Berührpunkt finden wir einen relatives Maximum unter der Nebenbedingung.

Die beiden Punkte kann man durch die Multiplikator-Methode oder mit Hilfe einer Parametrisierung (vgl. 4.6.2) finden.


Ein anderes Beispiel (mit derselben Zielfunktion) finden Sie hier.

Horizontale Schnitte, Kontur- und Niveaulinien des Graphen gibt es dort.