\( \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\diff}{\mathop{\mathrm{\kern0pt d}}} \newcommand{\diffAt}[3]{\frac{\diff}{\diff{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\partAt}[3]{\frac{\partial}{\partial{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\diffgleich}{\mathbin{\,\mathop{=}\limits^{\,\prime}}\,} \newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}} \newcommand{\Jac}[2]{\mathrm{J}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesse}[2]{\mathrm{H}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesso}[1]{\mathrm{H}{#1}} \)
HM 2: vertikale Schnitte und Extrema unter Nebenbedingungen

X16: vertikale Schnitte und Extrema unter Nebenbedingungen

Die Funktion

\( f\colon \RR^2\to\RR\colon \) \( \binom xy\mapsto x\,(y-x) \)

ist auf ganz \( \RR^2 \) beliebig oft stetig partiell differenzierbar.

Die Darstellung des Funktionsgraphen links können Sie interaktiv bewegen, um sich einen besseren Eindruck zu verschaffen.

Dabei ist die rote Achse die \(x\)-Achse, die grüne ist die \(y\)-Achse, und die blaue Achse ist die \(z\)-Achse, auf der wir die Funktionswerte abtragen, um den Graphen der Funktion im Raum zu realisieren.

Dargestellt sind außer dem Funktionsgraphen auch noch einige Linien, die durch Schnitt des Funktionsgraphen mit gewissen vertikalen Ebenen entstehen.

Diese Ebenen sind gegeben durch Gleichungen \(y=cx+2\), mit \(c\in\{-2,-1-0,1,2,3\}\).

Die Schnittlinien sind Parabeln.

Die Scheitel dieser Parabeln erhält man als Extrema unter Nebenbedingungen:

Die Zielfunktion ist \(f\colon\RR^2\to\RR\colon\binom xy\mapsto x(y-x)\);
die Nebenbedingung ist \(y=cx+2\).

In der Skizze sind auch diese Scheitelpunkte dargestellt.

Diese Scheitelpunkte kann man durch die Multiplikator-Methode oder mit Hilfe einer Parametrisierung (vgl. 4.6.2) finden.


Ein anderes Beispiel (mit derselben Zielfunktion) finden Sie hier.

Horizontale Schnitte, Kontur- und Niveaulinien des Graphen gibt es dort.