\( \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\diff}{\mathop{\mathrm{\kern0pt d}}} \newcommand{\diffAt}[3]{\frac{\diff}{\diff{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\partAt}[3]{\frac{\partial}{\partial{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\diffgleich}{\mathbin{\,\mathop{=}\limits^{\,\prime}}\,} \newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}} \newcommand{\Jac}[2]{\mathrm{J}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesse}[2]{\mathrm{H}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesso}[1]{\mathrm{H}{#1}} \)
HM 2: ebene Schnitte und Niveaumengen

X16: ebene Schnitte und Niveaumengen

Die Funktion

\( f\colon \RR^2\to\RR\colon \) \( \binom xy\mapsto x\,(y-x) \)

ist auf ganz \( \RR^2 \) beliebig oft stetig partiell differenzierbar.

Die Darstellung des Funktionsgraphen links können Sie interaktiv bewegen, um sich einen besseren Eindruck zu verschaffen.

Dabei ist die rote Achse die \(x\)-Achse, die grüne ist die \(y\)-Achse, und die blaue Achse ist die \(z\)-Achse, auf der wir die Funktionswerte abtragen, um den Graphen der Funktion im Raum zu realisieren.

Dargestellt sind außer dem Funktionsgraphen auch noch einige horizontale Ebenen (gegeben durch \(z=c\) mit \(c\in\{\frac14,\frac12,\frac34,1,\frac54,\frac32,\frac74,2\}\)), diese schneiden den Graphen in Konturlinien.

Außer den durch Schnitt mit den gezeigten Ebenen erhaltenen Konturlinien sind auch noch die zu den Niveaus \(c\in\{0,-\frac14,-\frac12,-\frac34,-1,-\frac54,-\frac32,-\frac74,-2\}\) eingezeichnet.

Die Projektion einer solchen Konturlinie in den Definitionsbereich der Funktion \(f\) ist eine Niveaulinie.

Mit Hilfe der Niveaumenge zum Niveau \(0\) erkennen wir einen Sattelpunkt auf dem Funktionsgraphen:

Diese Niveaumenge ist Vereinigung von zwei Geraden, die sich im Ursprung schneiden.

Dieser Schnittpunkt ist jedenfalls eine kritische Stelle (siehe die Veranschaulichung dort).

Anhand der Vorzeichenverteilung kann man leicht sehen, dass an dieser Stelle ein Sattelpunkt vorliegt.

Die kritischen Stellen ergeben sich auch rechnerisch aus der Bedingung

\( \binom00 = \grad f\binom xy = \left( \binom{y-2\,x}{x} \right) \):

Da gibt es nur eine, nämlich \(\binom00\).

Insbesondere hat die betrachtete Funktion auf \(\RR^2\) keine Extrema, auch keine lokalen.

Der Vollständigkeit halber sehen wir uns auch noch die Hesse-Matrix an:

Es gilt \(\Hesso f\binom xy = \left( \begin{smallmatrix} -2 & 1 \\ \phantom{-}1 & 0 \end{smallmatrix} \right)\) an jeder Stelle \(\binom xy\in\RR^2\).

\(\Hesso f\binom xy\) hat negative Determinante, beschreibt also eine indefinite quadratische Form.

Man erkennt den Sattelpunkt bei der Stelle \(\binom00\) also auch auf diesem rechnerischen Weg.


Die hier betrachtete Funktion wird als Zielfunktion für Extrema unter Nebenbedingungen da und dort verwendet.