\( \def\pause{} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \)

(Den vollständigen Abschnitt 1.12 finden Sie hier.)

1.12.5. Beispiel (interaktive Fassung).

Wir wollen \( \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}x \) und \( \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x}x \) verstehen.

Wegen \( \lim\limits_{x\to0}\sin x=0\pause =\lim\limits_{x\to0}\tan x\pause =\lim\limits_{x\to0}x \) und \( \) haben beide Ausdrücke die Form „\( \frac00 \)” , man kann also die Grenzwertsätze nicht direkt anwenden.

Wir benutzen die Ungleichungen \( 0 \lt x \lt \frac\pi2 \implies \sin x \lt x \pause \lt \tan x \,. \) Anschaulich wird diese Relation an folgender Skizze (hier ist \(x\) die Länge des gelben Bogens, Sie können den roten dicken Punkt bewegen und die Auswirkungen für \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) und \(\tan(x)\) beobachten):

Für \( 0 \lt x \lt \frac\pi2 \) gilt \( \frac{\sin x}x \lt 1 \) und \( 1 \lt \frac{\tan x}x \pause =\frac{\sin x}{x\cdot\cos x} \), also \( \cos x \lt \frac{\sin x}x \).

Damit erhalten wir ein „Sandwich” \( \cos x \lt \frac{\sin x}x \pause \lt 1 \).

Nun gilt \( \lim\limits_{x\to0+0}\cos x=1\pause=\lim\limits_{x\to0+0}1 \), wie im Sandwichsatz 1.5.6 konvergiert also auch der mittlere Term, und wir schließen \( \lim\limits_{x\to0+0}\frac{\sin x}x =1 \).

Als Grenzwert von links erhalten wir \( \lim\limits_{x\to0+0}\frac{\sin (-x)}{-x} = \lim\limits_{x\to0+0}\frac{\sin x}x \), also gilt insgesamt \( \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x= 1 \).

Den zweiten gesuchten Grenzwert erhalten wir nun aus \( \lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x}x = \pause \lim\limits_{x\to0}\left(\frac{\sin x}x\cdot\frac1{\cos x}\right) \pause =1 \).