\( \def\pause{} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \)

Das \(\epsilon\)-\(\delta\)-Kriterium

(Den vollständigen Abschnitt 1.10 finden Sie hier.)

1.10.5. Die \(\epsilon\)-\(\delta\)-Beschreibung der Stetigkeit.

Die Funktion \(f \colon M \to \RR\) ist genau dann stetig im Punkt \(x_0\) wenn gilt:

\(\displaystyle \forall\,\epsilon>0 \quad \exists\,\delta>0 \quad \forall\, x\in M\colon{}\quad \) \( \bigl(\, |x-x_0| \lt \delta \implies |f(x)-f(x_0)| \lt \epsilon \,\bigr) \,. \)

Dabei wird zuerst die Fehlertoleranz \(\epsilon\) vorgegeben: Die Schranke \(\delta = \delta_\epsilon\) hängt von der Wahl von \(\epsilon\) ab.

Man kann das auch so ausdrücken:

1.10.6. Beschreibung der Stetigkeit durch Umgebungen.

Die Funktion \(f \colon M \to \RR\) ist genau dann stetig im Punkt \(x_0 \in M\), wenn es zu jeder Umgebung \(U = U_\epsilon (f (x_0 ))\) eine Umgebung \(V = U_\delta(x_0)\) derart gibt, dass \(f (V\cap M) \subseteqq U\).

Die Beschreibung durch Umgebungen ist recht anschaulich:

Umgebungen Umgebungen Umgebungen
\(x_0\qquad\) \(x_0\qquad\) \(x_0\qquad\)
Es gilt hier aber
\(f\bigl(U_\delta(x_0)\bigr)\subseteq U_\epsilon(f(x_0))\); \(f\bigl(U_{2\,\delta}(x_0)\bigr)\subseteq U_\epsilon(f(x_0))\); \(f\bigl(U_\delta(x_0)\bigr) \nsubseteq U_{\frac12\epsilon}(f(x_0))\).

Ein interaktives Extra

Das gibt es erst, seit wir wegen einer Pandemie rein online lehren:

Sie können hier