\( \def\pause{} \newcommand{\alert}[1]{\color{red}{#1}} \def\ds{\displaystyle} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \newcommand{\E}{\mathrm{e}} \newcommand{\I}{\mathrm{i}} \newcommand{\diff}{\mathop{\mathrm{\kern0pt d}}} \newcommand{\diffAt}[3]{\frac{\diff}{\diff{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\partAt}[3]{\frac{\partial}{\partial{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\diffgleich}{\mathbin{\,\mathop{=}\limits^{\,\prime}}\,} \newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}} \newcommand{\Jac}[2]{\mathrm{J}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesse}[2]{\mathrm{H}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesso}[1]{\mathrm{H}{#1}} \)

Der Integralsinus: Die Macht der Potenzreihe

Die Funktion

\( f\colon \RR\setminus\{0\}\to\RR \colon \) \( x\mapsto \begin{cases} \frac{\sin x}x & \text{falls $x\ne0$}\\ 0 & \text{falls $x=0$.} \end{cases} \)

ist stetig bei \(x_0=0\) — das sieht man am leichtesten mit der Potenzreihendarstellung

\( \frac{\sin x}{x} \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2\,k+1)!}\, x^{2\,k} \),

die man aus der Potenzreihen darstellung des Sinus gewinnt.

Deswegen ist \(f\) jedenfalls integrierbar.

Allerdings ist \(f\) nicht elementar integrierbar (ähnlich wie die aus der Statistik bekannte Funktion \(\exp(-x^2)\)).

Die Stammfunktion heißt Integralsinus \(\operatorname{Si}\), sie ist gegeben durch die Potenzreihe

\( \operatorname{Si}x \) \( := \int\limits_{0}^x \frac{\sin t}t\,\diff t \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2\,k+1)!\,(2\,k+1)}\, x^{2\,k+1} \).

In der folgenden Skizze wurde die Funktion \(\operatorname{Si}\) tatsächlich durch Partialsummen dieser Potenzreihe (also Taylorpolynome von \(\operatorname{Si}\)) approximiert — man sieht auch, dass das nur in genügend kleinen Intervallen gut geht ...

Um zu sehen, dass \(\operatorname{Si}\) eine Stammfunktion von \( \frac{\sin x}x \) ist, beschreibt man \( \sin x \) durch eine Potenzreihe:

\( \sin x \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2\,k+1)!} \,x^{2\,k+1} \);

also

\( \dfrac{\sin x}x \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2\,k+1)!} \,x^{2\,k} \).

Man vergewissert sich [vgl. 1.14.20], dass der Konvergenzradius dieser Reihen \( +\infty \) ist.

Jetzt liefert gliedweise Integration die Behauptung.