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Die Funktion
\( f\colon \RR\setminus\{0\}\to\RR \colon \) \( x\mapsto \begin{cases} \frac{\sin x}x & \text{falls $x\ne0$}\\ 0 & \text{falls $x=0$.} \end{cases} \)
ist stetig bei \(x_0=0\) — das sieht man am leichtesten mit der Potenzreihendarstellung
\( \frac{\sin x}{x} \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2\,k+1)!}\, x^{2\,k} \),
die man aus der Potenzreihen darstellung des Sinus gewinnt.
Deswegen ist \(f\) jedenfalls integrierbar.
Allerdings ist \(f\) nicht elementar integrierbar (ähnlich wie die aus der Statistik bekannte Funktion \(\exp(-x^2)\)).
Die Stammfunktion heißt Integralsinus \(\operatorname{Si}\), sie ist gegeben durch die Potenzreihe
\( \operatorname{Si}x \) \( := \int\limits_{0}^x \frac{\sin t}t\,\diff t \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2\,k+1)!\,(2\,k+1)}\, x^{2\,k+1} \).
In der folgenden Skizze wurde die Funktion \(\operatorname{Si}\) tatsächlich durch Partialsummen dieser Potenzreihe (also Taylorpolynome von \(\operatorname{Si}\)) approximiert — man sieht auch, dass das nur in genügend kleinen Intervallen gut geht ...
Um zu sehen, dass \(\operatorname{Si}\) eine Stammfunktion von \( \frac{\sin x}x \) ist, beschreibt man \( \sin x \) durch eine Potenzreihe:
\( \sin x \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2\,k+1)!} \,x^{2\,k+1} \);
also
\( \dfrac{\sin x}x \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2\,k+1)!} \,x^{2\,k} \).
Man vergewissert sich [vgl. 1.14.20], dass der Konvergenzradius dieser Reihen \( +\infty \) ist.
Jetzt liefert gliedweise Integration die Behauptung.
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