\( \def\pause{} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \)

Leibniz-Kriterium: Veranschaulichung

1.9.5. Leibniz-Kriterium.

Es sei \( \sum\limits_{j=0}^\infty a_j \) eine alternierende Reihe, und es sei dabei \( \bigl(|a_j|\bigr)_{j\in\NN_0} \) eine monotone Nullfolge.

Dann konvergiert die Reihe \( \sum\limits_{j=0}^\infty a_j \), und es gilt

\(\displaystyle \biggl|S_n-\sum_{j=0}^\infty a_j\biggr| \le \bigl|a_{n+1}\bigr| \,. \)

(Zur Erinnerung: \(S_n = \sum\limits_{j=0}^n a_j\) ist die \(n\)-te Partialsumme.)

Der Beweis beruht auf der folgenden anschaulichen Beobachtung:

Beim Übergang von einer Partialsumme \(S_n\) zur nächsten \(S_{n+1}\) wird abwechselnd der Wert der Partialsumme steigen (wenn der neu hinzugekommene Summand \(a_{n+1}\) positiv ist) bzw. fallen (wenn \(a_{n+1}\) negativ ist).

Dabei wird der Abstand zwischen den Partialsummen immer enger [weil die Beträge der Summanden eine monoton fallende Folge bilden].

Die Folge der Partialsummen wird also "eingequetscht" zwischen einer ansteigenden Folge und einer fallenden Folge. Die Abstände gehen gegen Null, und die Folge der Partialsummen konvergiert.

In der folgenden Darstellung können Sie jeden Summanden \(a_j\) (für \(j\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}\)) auf seiner eigenen Skala im oberen Bildbereich bewegen und die Auswirkungen auf die Reihe \(\sum\limits_{j=0}^\infty a_j\) verfolgen: