Teilfolgen und Häufungspunkte

1.3.1. Definition

Es sei \((a_n)_{n\in\NN}\) eine Folge, und es sei \((n_k)_{k\in\NN}\) eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen.

Dann heißt \((a_{n_k})_{k\in\NN}\) eine Teilfolge von \((a_n)_{n\in\NN}\).

Bei der Auswahl von Teilfolgen darf man also Folgenglieder überspringen, aber man darf nicht umsortieren.

1.3.2. Beispiel

Die Folge \((x_n)_{n\in\NN}\) sei gegeben durch

\( x_n:= \left\{ \begin{array}{ll} \frac12\,(n+1) & \text{ falls \(n\) ungerade,}\\[1ex] \frac12\,n+2 & \text{ falls \(n\) gerade.} \end{array}\right. \)

Es gilt also \( x_1=1\,, \quad x_2=3\,, \quad x_3=2\,, \quad x_4=4\,, \quad x_5=3\,, \quad x_6=5\,, \quad x_7=4\,, \quad x_8=6\,\ldots \)

Durch \(n_k:=2\,k\) wird eine streng monotone Folge \((n_k)_{k\in\NN}\) natürlicher Zahlen definiert, diese führt auf die Teilfolge \((x_{2k})_{k\in\NN}\) unserer Folge:

\( \phantom{ x_1=1\,, \quad} x_2=3\,, \quad \phantom{ x_1=1\,, \quad} x_4=4\,, \quad \phantom{ x_1=1\,, \quad} x_6=5\,, \quad \phantom{ x_1=1\,, \quad} x_8=6\,\ldots \)

Die Teilfolge \((x_{3k-1})_{k\in\NN}\) ist nicht streng monoton:

\( \phantom{ x_1=1\,, \quad} x_2=3\,, \quad \phantom{ x_1=1\,, \quad} \phantom{ x_1=1\,, \quad} x_5=3\,, \quad \phantom{ x_1=1\,, \quad} \phantom{ x_1=1\,, \quad} x_8=6\,\ldots \)

Das macht nichts:

Wir verlangen ja nur, dass \((3\,k-1)_{k\in\NN}\) streng monoton ist — das ist erfüllt!

1.3.3. Bemerkungen

Es sei \((a_n)_{n\in\NN}\) eine Folge reeller Zahlen.

1. Ist die Folge nach oben (bzw. nach unten) beschränkt, so ist jede Teilfolge nach oben (bzw. nach unten) beschränkt.
2. Ist die Folge monoton steigend (bzw. fallend), so ist jede Teilfolge monoton steigend (bzw. fallend).

1.3.4 Beispiel

Die in 1.3.2 betrachtete Folge ist selbst nicht monoton, hat aber streng monoton steigende Teilfolgen.

1.3.5 Definition

Es sei \((a_n)_{n\in\NN}\) eine Folge reeller Zahlen.

1. Eine reelle Zahl \(a\) heißt Häufungspunkt der Folge \((a_n)_{n\in\NN}\), wenn es zu jedem \(\epsilon>0\) unendlich viele natürliche Zahlen \(k\) mit \(|a-a_k| \lt \epsilon\) gibt.
2. Auch \(+\infty\) und \(-\infty\) sind Kandidaten für Häufungspunkte.
   Falls die Folge nicht nach oben beschränkt ist, gilt \(+\infty\) als Häufungspunkt.
   Falls die Folge nicht nach unten beschränkt ist, gilt \(-\infty\) als Häufungspunkt.
   Solche (nicht reellen) Häufungspunkte heißen uneigentlich.

Für reelle Häufungspunkte kann man die Bedingung auch so fassen:

Für jedes \(\epsilon>0\) und jedes \(n\in\NN\) gibt es \(k>n\) so, dass \(|a-a_k| \lt \epsilon\).

Mit Quantoren präzisiert, sieht die Bedingung so aus:

\( \forall\,\epsilon>0 \quad \forall\,n\in\NN \quad \exists\,k\in\NN\colon{} \quad \left(\quad k>n \quad\land\quad |a-a_k| \lt \epsilon \quad\right) \,. \)

Etwas salopp formuliert man manchmal:

Die Folge häuft sich bei \(a\), wenn beliebig nahe bei \(a\) immer noch unendlich viele Folgenglieder liegen.

Vorsicht ist geboten:
wir wollen nur, dass für unendliche viele Nummern \(k\) auch \(a_k\) nahe bei \(a\) liegt — die Folgenglieder müssen aber nicht verschieden sein!

1.3.6. Beispiel

Die alternierende Folge \(\left((-1)^n\right)_{n\in\NN}\) häuft sich bei \(1\) und bei \(-1\).

1.3.7. Beispiel

Die Folge \(\left((-1)^n\,\bigl(1-\frac1n\bigr)\right)_{n\in\NN}\) häuft sich bei \(1\) und bei \(-1\).

1.3.8. Beispiel

Die Folge \(\left(\frac1n\right)_{n\in\NN}\) häuft sich bei \(0\).

1.3.9. Beispiel

Die Folge \(\biggl(\bigl(1+(-1)^n\bigr)^{n}\biggr)_{n\in\NN}\) häuft sich bei \(0\) und bei \(+\infty\).