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Man kann jede Reihe als uneigentliches Integral interpretieren:
\( \sum\limits_{n=0}^\infty a_n \) \( = \int\limits_0^{+\infty} T(x)\,\diff x \)
für die durch
\( T(x) := a_n \) \( \quad\text{falls $n\le x \lt n+1$} \)
definierte „Treppenfunktion“ \(T\).
Auf jedem beschränkten Intervall ist die Funktion \(T\) integrierbar (nach 3.5.5.)
Zu diesen Treppenfunktionen und dem folgenden Vergleichskriterium gibt es eine interaktive Darstellung.
Die Funktion \( f\colon[m,+\infty)\to\RR \) sei positiv und monoton fallend, dabei sei \( m\in\NN \).
Dann haben \( \sum\limits_{k=m}^\infty f(k) \) und \( \int\limits_m^{+\infty} f(x)\,\diff x \) das gleiche Konvergenzverhalten.
Für alle \( k\ge m \) und alle \( x\in[k,k+1] \) gilt:
\( f(k) \ge f(x) \) \( \ge f(k+1) \),
also
\( f(k) \ge \int\limits_k^{k+1} f(x)\,\diff x \) \( \ge f(k+1) \).
Damit gilt
\( \sum\limits_{k=m}^N f(k) \ge \int\limits_m^{N+1} f(x)\,\diff x \) \( \ge \sum\limits_{k=m+1}^{N+1} f(k) \)
und
\( \sum\limits_{k=m}^\infty f(k) \ge \int\limits_m^{+\infty} f(x)\,\diff x \) \( \ge \sum\limits_{k=m+1}^{\infty} f(k) \)
folgt.
Für \( \alpha \gt 1 \) konvergiert die Reihe \( \sum\limits_{k=1}^\infty \frac1{k^\alpha} \), weil das Integral \( \int\limits_{1}^{+\infty} \frac1{x^\alpha} \,\diff x \) konvergiert (siehe 3.7.8).
Vorsicht: Die Grenzwerte \( \sum\limits_{k=1}^\infty \frac1{k^\alpha} \) und \( \int\limits_{1}^{+\infty} \frac1{x^\alpha} \,\diff x \) sind verschieden!
Z. B. wissen wir für \( \alpha=2 \):
Es ist einerseits \( \sum\limits_{k=1}^\infty \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 \) (vgl. 1.8.3), aber andererseits gilt
\( \int\limits_{1}^{+\infty}\frac1{x^2} \,\diff x \) \( = \lim\limits_{\beta\to+\infty}\left[\frac{-1}x\right]_1^\beta \) \( = \lim\limits_{\beta\to+\infty}\frac{-1}\beta - (-1) \) \( = 1 \).
Das Grenzwertkriterium 3.7.11 überträgt sich mit 3.8.1 auf Reihen.
Besonders wichtige Reihen sind Potenzreihen.
Es sei \( f(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty a_k\,(x-x_0^{})^k \) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius \( \rho \).
Dann darf \(f\) im Intervall \( (x_0^{}-\rho,x_0^{}+\rho) \) gliedweise integriert bzw. differenziert werden:
Für alle \( x\in(x_0^{}-\rho,x_0^{}+\rho) \) gilt
\( \int\limits_{x_0^{}}^x f(t)\,\diff t \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{a_k}{k+1}\,(x-x_0^{})^{k+1} \) \( = \sum\limits_{j=1}^\infty \frac{a_{j-1}}{j}\,(x-x_0^{})^{j} \)
bzw.
\( f'(x) \) \( = \sum\limits_{k=\alert{1}}^\infty k\,a_k\,(x-x_0^{})^{k-1} \) \( = \sum\limits_{\ell=0}^\infty (\ell+1)\,a_{\ell+1}\,(x-x_0^{})^{\ell} \).
Zum Beweis nutzt man die gleichmäßige Konvergenz der Potenzreihe, wir überlassen dies den Mathematikern.
Die Funktion \( f\colon \RR\to\RR\colon x\mapsto\E^{\alert{(}-x^2\alert{)}} \) hat die Potenzreihendarstellung
\( \E^{\alert{(}-x^2\alert{)}} \) \( = \exp(\color{blue}{-x^2}) \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{(\color{blue}{-x^2})^k}{k!} \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \, x^{2\,k} \),
die Koeffizienten sind also
\( a_n = \) \( \begin{cases} \frac{(-1)^{\frac n2}}{\frac n2!} & \text{ falls $n$ gerade,}\\ \qquad 0 & \text{ sonst.} \end{cases} \)
Nach Satz 3.8.4 gilt deswegen
\( \int\limits_0^x f(t)\,\diff t \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!\,(2k+1)} \, x^{2\,k+1} \).
Die Funktion \( \E^{(-x^2)} \) ist nicht elementar integrierbar:
Man kann die Stammfunktion (die wir in 3.8.5 als Potenzreihe beschrieben haben) nicht darstellen durch eine algebraische Kombination der „elementaren Funktionen“ (Polynome, \(\exp\) , \(\ln\) , Winkelfunktionen).
Die Potenzreihen in 3.8.5 sind die Taylorreihen der entsprechenden Funktionen im Entwicklungspunkt \( x_0^{}=0 \).
Eine weitere nicht elementar integrierbare Funktion ist
\( f\colon \RR\setminus\{0\}\to\RR \colon \) \( x\mapsto \begin{cases} \frac{\sin x}x & \text{falls $x\ne0$}\\ 0 & \text{falls $x=0$.} \end{cases} \)
(Diese Funktion ist stetig bei \(x_0=0\) — das sieht man mit 1.12.5, oder mit der Regel von l'Hospital, aber am leichtesten mit der Potenzreihendarstellung.)
Die Stammfunktion hat einen eigenen Namen:
Der Integralsinus \(\operatorname{Si}\) ist gegeben durch
\( \operatorname{Si}x \) \( := \int\limits_{0}^x \frac{\sin t}t\,\diff t \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2\,k+1)!\,(2\,k+1)}\, x^{2\,k+1} \).
In der folgenden Skizze wurde die Funktion \(\operatorname{Si}\) tatsächlich durch Partialsummen dieser Potenzreihe (also Taylorpolynome von \(\operatorname{Si}\)) approximiert &emdash; man sieht auch, dass das nur in genügend kleinen Intervallen gut geht ...
Um zu sehen, dass \(\operatorname{Si}\) eine Stammfunktion von \( \frac{\sin x}x \) ist, beschreibt man \( \sin x \) durch eine Potenzreihe:
\( \sin x \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2\,k+1)!} \,x^{2\,k+1} \);
also
\( \dfrac{\sin x}x \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2\,k+1)!} \,x^{2\,k} \).
Man vergewissert sich [vgl. 1.14.20], dass der Konvergenzradius dieser Reihen \( +\infty \) ist.
Jetzt liefert gliedweise Integration die Behauptung.
Die geometrische Reihe beschreibt \( \dfrac1{1-x} \) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty x^k \) für \(|x | \lt 1\):
Gliedweise Differentiation der rechten Seite und einfaches Ableiten der linken Seite liefern (für \(|x| \lt 1\)):
\( \ds\frac1{(1-x)^2} \) \( = \sum\limits_{k=\alert{1}}^\infty k\,x^{k-1} \) \( = \sum\limits_{j=0}^\infty (j+1)\,x^{j} \).
Dieses Vorgehen eignet sich also (manchmal), um den Grenzwert einer Reihe zu bestimmen.
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