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Eine Folge
Man nennt den Grenzwert auch Limes der Folge, und schreibt
Man sagt dann auch:
Die Folge
Wenn es kein reelles
In Quantoren ausgedrückt,
lautet die Bedingung für Konvergenz gegen
Wenn eine Folge nicht konvergiert, so wird sie doch wenigstens Häufungspunkte haben.
Man bezeichnet mit
Mit
In beiden Fällen muss man auch uneigentliche Häufungspunkte
(also
Die Folge
Nach dem Archimedischen
Prinzip 0.2.3
gibt es zu jedem
Für alle
Also gilt für alle
Damit haben wir
Es gilt
Zu jedem beliebigen
Für
Damit haben wir die Konvergenz nachgewiesen.
Die Folge
Wir erweitern:
Da der Nenner des rechts stehenden Ausdrucks über alle Grenzen
wächst, konvergiert die Folge gegen
Direkt auf die Definition 1.4.1 zurückgeführt:
Man wählt
Indem man etwa die beiden eben betrachteten Folgen mischt
,
kann man divergente Folgen mit unterschiedlichen Häufungspunkten
erzeugen.
Für
Man nennt
Man kann solche Umgebungen auch in
Eine Folge
Statt alle bis auf endlich viele Ausnahmen
sagt man auch fast alle
.
Damit haben wir den Gebrauch der Formulierung fast alle
mathematisch präzisiert:
Wenn jedes tausendste Folgenglied nicht in einer gegebenen Umgebung liegt,
liegen im hier definierten Sinn nicht fast alle Glieder in dieser
Umgebung,
denn es liegen ja noch unendlich viele draußen!
Als direkte Umformulierung von 1.4.5 erhalten wir:
Eine reelle Folge ist genau dann divergent,
wenn es zu jeder reellen Zahl
Die Folge
Zu jedem
Wir können etwa
Es gibt Folgen, die deswegen divergent sind,
weil sie ziellos in
.
Andere scheinen dagegen ein klares Ziel zu haben, das nur leider nicht im Reellen liegt:
Es sei
Man sagt die Folge strebt gegen
,
wenn es zu jeder reellen Zahl
Mit anderen Worten:
Fast alle Folgenglieder sind größer als
Man schreibt in diesem Fall
Es gibt keinen reellen Grenzwert, die Folge ist nicht konvergent!
Analog sagt man die Folge strebt gegen
(und schreibt
Folgen, die gegen
Es sei
Die Folge konvergiert genau dann, wenn sie nur einen einzigen Häufungspunkt hat und dieser reell ist.
In diesem Fall gilt
Die Folge ist genau dann bestimmt divergent, wenn sie nur einen einzigen Häufungspunkt hat und dieser nicht reell ist.
(Dieser Häufungspunkt ist also
In diesem Fall gilt wieder
Eine divergente Folge kann durchaus konvergente Teilfolgen haben.
Es gilt
Es gilt
Es gilt
Wenn man endlich viele konvergente Teilfolgen einer Folge
In der durch
Diese konvergieren
gegen
Die Menge aller Häufungspunkte der Folge ist
Das Verfahren klappt nicht bei allen Folgen.
Zum Beispiel hat die Folge
Jeder Punkt im Intervall
Das Konvergenzverhalten einer Folge reeller Zahlen ändert sich nicht, wenn man endlich viele Folgenglieder ändert oder ganz entfernt.
Insbesondere gilt:
Es sei
Wir betrachten die Teilfolge
Die Folge
Der Grenzwert ist dann derselbe.
Man schreibt
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