1.6 Vollständigkeit, der Satz von Bolzano-Weierstraß

Bisher kennen wir nur wenige konkrete Beispiele konvergenter Folgen.

Die hervorragende Eignung des Körpers $\mathbb{R}$ für die Analysis beruht darauf, dass sehr viele reelle Folgen konvergieren.

Das liegt an der folgenden Grundeigenschaft von $\mathbb{R}$:

1.6.1. Vollständigkeit der reellen Zahlen

Jede nicht leere, nach oben beschränkte Teilmenge $M⫅\mathbb{R}$ besitzt in $\mathbb{R}$ eine kleinste obere Schranke.

Diese nennt man das Supremum von $M$, und bezeichnet sie mit $supM$.

Jede nicht leere, nach unten beschränkte Teilmenge $M⫅\mathbb{R}$ besitzt in $\mathbb{R}$ eine größte untere Schranke.

Diese nennt man das Infimum von $M$, und bezeichnet sie mit $infM$}.

1.6.2 Definitionen

Gehört $supM$ zur Menge $M$ dazu, so nennt man $supM$ auch das Maximum von $M$, und schreibt $maxM$.

Gehört $infM$ zur Menge $M$ dazu, so nennt man $infM$ auch das Minimum von $M$, und schreibt $minM$.

1.6.3 Beispiel

Die Teilmenge $M:=\left\{x\in \mathbb{Q}|\phantom{x\in \mathbb{Q}}\phantom{x^2<5}{x}^2<5\right\}$ von $\mathbb{R}$ ist beschränkt [etwa durch $3$ nach oben und $-3$ nach unten].

Die kleinste obere Schranke für $M$ ist $supM=\sqrt{5}$. Dieses Supremum ist eine reelle, aber keine rationale Zahl!

Die Erweiterung der Menge der rationalen Zahlen zu $\mathbb{R}$ dient genau dazu, die Vollständigkeit zu sichern.

1.6.4 Definitionen

Es sei $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge reeller Zahlen.

1. Ist die Folge nach oben beschränkt, so schreibt man $\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}{a}_n:=sup\left\{a_n|\phantom{a_n}\phantom{n\in \mathbb{N}}n\in \mathbb{N}\right\}$.
2. Ist die Folge nach unten beschränkt, so schreibt man $\underset{n\in \mathbb{N}}{inf}{a}_n:=inf\left\{a_n|\phantom{a_n}\phantom{n\in \mathbb{N}}n\in \mathbb{N}\right\}$.

Warnung:

Im Allgemeinen gilt $\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}{a}_n\ne \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{a}_n$ und $\underset{n\in \mathbb{N}}{inf}{a}_n\ne \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{a}_n$.

Bei $sup$ und $inf$ wird stets die gesamte Folge betrachtet, für $\bar{\lim }$ und $\underset{―}{\lim }$ sind nur Endstücke wirklich relevant.

1.6.5. Satz von Bolzano und Weierstraß

Jede monotone und beschränkte Folge in $\mathbb{R}$ ist konvergent.

Jede beschränkte Folge in $\mathbb{R}$ besitzt mindestens einen Häufungspunkt in $\mathbb{R}$.

1.6.6. Beispiel

Die divergente Folge $(n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist zwar monoton, aber nicht beschränkt:

Eine der Voraussetzungen des Satzes von Bolzano und Weierstraß ist also nicht erfüllt.

Weder $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}n=+\mathrm{\infty }$ noch $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}n=+\mathrm{\infty }$ liegen in $\mathbb{R}$.

1.6.7. Beispiel

Die divergente Folge ${((-1{)}^n)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist beschränkt, aber nicht monoton:

Die Monotonie-Voraussetzung des Satzes von Bolzano und Weierstraß ist nicht erfüllt, aber es existieren (reelle) Häufungspunkte:

Es gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}(-1{)}^n=1$ und $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}(-1{)}^n=-1$.

Jede konvergente Folge ist beschränkt, braucht aber nicht monoton zu sein:

1.6.8. Beispiel

Die Folge ${((-1{)}^n\frac{1}{n})}_{n\in \mathbb{N}}$ ist konvergent, aber nicht monoton.

1.6.9. Bemerkung

Auch für $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n$ und $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n$ betrachtet man uneigentliche Werte (also $\pm \mathrm{\infty }$):

Wir haben in 1.4.11 gesehen, dass etwa $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n=+\mathrm{\infty }$ bedeutet, dass eine bestimmt divergente Teilfolge existiert, die über alle Grenzen hinaus wächst.

Dies wird bei einer beschränkten Folge nie passieren: Die in 1.6.5 garantierten Häufungspunkte sind eigentliche (also reelle) Häufungspunkte!