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Bisher kennen wir nur wenige konkrete Beispiele konvergenter Folgen.
Die hervorragende Eignung des Körpers \(\RR\) für die Analysis beruht darauf, dass sehr viele reelle Folgen konvergieren.
Das liegt an der folgenden Grundeigenschaft von \(\RR\):
Jede nicht leere, nach oben beschränkte Teilmenge \(M\subseteq\RR\) besitzt in \(\RR\) eine kleinste obere Schranke.
Diese nennt man das Supremum von \(M\), und bezeichnet sie mit \(\alert{\sup M}\).
Jede nicht leere, nach unten beschränkte Teilmenge \(M\subseteq\RR\) besitzt in \(\RR\) eine größte untere Schranke.
Diese nennt man das Infimum von \(M\), und bezeichnet sie mit \(\alert{\inf M}\)}.
Gehört \(\sup M\) zur Menge \(M\) dazu, so nennt man \(\sup M\) auch das Maximum von \(M\), und schreibt \(\alert{\max M}\).
Gehört \(\inf M\) zur Menge \(M\) dazu, so nennt man \(\inf M\) auch das Minimum von \(M\), und schreibt \(\alert{\min M}\).
Die Teilmenge \(M:=\set{x\in\QQ}{x^2 \lt 5}\) von \(\RR\) ist beschränkt [etwa durch \(3\) nach oben und \(-3\) nach unten].
Die kleinste obere Schranke für \(M\) ist \(\sup M=\sqrt5\). Dieses Supremum ist eine reelle, aber keine rationale Zahl!
Die Erweiterung der Menge der rationalen Zahlen zu \(\RR\) dient genau dazu, die Vollständigkeit zu sichern.
Es sei \((a_n)_{n\in\NN}\) eine Folge reeller Zahlen.
Im Allgemeinen gilt \(\sup\limits_{n\in\NN}a_n \ne \limsup\limits_{n\to\infty} a_n\) und \(\inf\limits_{n\in\NN}a_n \ne \liminf\limits_{n\to\infty} a_n\).
Bei \(\sup\) und \(\inf\) wird stets die gesamte Folge betrachtet, für \(\limsup\) und \(\liminf\) sind nur Endstücke wirklich relevant.
Jede monotone und beschränkte Folge in \(\RR\) ist konvergent.
Jede beschränkte Folge in \(\RR\) besitzt mindestens einen Häufungspunkt in \(\RR\).
Wir beweisen die erste Aussage (die zweite kann man durch Auswahl einer geeigneten Teilfolge auf die erste zurückführen).
Wir können uns auf den Fall beschränken, dass eine monoton wachsende Folge \((a_n)_{n\in\NN}\) vorliegt (bei einer fallenden Folge \((b_n)_{n\in\NN}\) können wir die steigende Folge \((-b_n)_{n\in\NN}\) betrachten &emdash; nach den Grenzwertsätzen 1.5.3 konvergiert ja \((b_n)_{n\in\NN}\) genau dann, wenn \((-b_n)_{n\in\NN}\) konvergiert}).
Da die Folge nach oben beschränkt ist, existiert \(a:=\sup_{n\in\NN}a_n\) (vgl. 1.6.1).
Wir werden zeigen, dass \((a_n)_{n\in\NN}\) gegen \(a\) konvergiert.
Sei \(\epsilon \gt 0\).
Da \(a\) die kleinste obere Schranke für die Menge \(\set{a_n}{n\in\NN}\) ist, gibt es (wenigstens) eine natürliche Zahl \(j\) so, dass \(a-\epsilon \lt a_j\) gilt [sonst wäre \(a-\epsilon\) eine kleinere obere Schranke als \(a\)].
Das bedeutet \(a-a_j \lt \epsilon\).
Wegen der Monotonie der Folge gilt nun \( \forall\, k \gt j \colon {} a-a_k \le a-a_j \lt \epsilon \).
Weil \(a\) eine obere Schranke für die Folge ist, gilt \(a-a_k\ge0\).
Wir können also ohne Schaden für die Ungleichung zum Betrag übergehen.
Mit anderen Worten: \( \forall\, k \gt j \colon {} |a-a_k| = a-a_k \lt \epsilon \).
Damit ist gezeigt, dass die Folge \((a_n)_{n\in\NN}\) gegen \(a\) konvergiert.
Die divergente Folge \((n)_{n\in\NN}\) ist zwar monoton, aber nicht beschränkt:
Eine der Voraussetzungen des Satzes von Bolzano und Weierstraß ist also nicht erfüllt.
Weder \(\limsup\limits_{n\to\infty}n=+\infty\) noch \(\liminf\limits_{n\to\infty}n=+\infty\) liegen in \(\RR\).
Die divergente Folge \(\left((-1)^n\right)_{n\in\NN}\) ist beschränkt, aber nicht monoton:
Die Monotonie-Voraussetzung des Satzes von Bolzano und Weierstraß ist nicht erfüllt, aber es existieren (reelle) Häufungspunkte:
Es gilt \(\limsup\limits_{n\to\infty}(-1)^n=1\) und \(\liminf\limits_{n\to\infty}(-1)^n=-1\).
Jede konvergente Folge ist beschränkt, braucht aber nicht monoton zu sein:
Die Folge \(\left((-1)^n\,\frac1n\right)_{n\in\NN}\) ist konvergent, aber nicht monoton.
Auch für \(\limsup\limits_{n\to\infty}x_n\) und \(\liminf\limits_{n\to\infty}x_n\) betrachtet man uneigentliche Werte (also \(\pm\infty\)):
Wir haben in 1.4.11 gesehen, dass etwa \(\limsup\limits_{n\to\infty}x_n=+\infty\) bedeutet, dass eine bestimmt divergente Teilfolge existiert, die über alle Grenzen hinaus wächst.
Dies wird bei einer beschränkten Folge nie passieren: Die in 1.6.5 garantierten Häufungspunkte sind eigentliche (also reelle) Häufungspunkte!
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