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HM 2: Niveaukreuzung und kritische Stelle

X18: Niveaukreuzung und kritische Stelle

Die Funktion

\( f\colon \RR^2\to\RR\colon \) \( \binom xy\mapsto x\,(x-y) \)

ist auf ganz \( \RR^2 \) beliebig oft stetig partiell differenzierbar.

Die Darstellung des Funktionsgraphen links können Sie interaktiv bewegen, um sich einen besseren Eindruck zu verschaffen.

Dabei ist die rote Achse die \(x\)-Achse, die grüne ist die \(y\)-Achse, und die blaue Achse ist die \(z\)-Achse, auf der wir die Funktionswerte abtragen, um den Graphen der Funktion im Raum zu realisieren.

Dargestellt sind außer dem Funktionsgraphen auch noch die beiden durch \(x=0\) bzw. \(y=x\) gegebenen Geraden in \(\RR^2\), die zusammen die Niveaumenge \(\set{\binom xy\in\RR^2}{f\binom xy=0}\) bilden.

Aus der Tatsache, dass sich in einer Stelle in \(\RR^2\) (hier dem Ursprung \(\binom00\)) zwei in einer Niveaumenge einer stetig partiell differenzierbaren Funktion liegende Kurven schneiden, kann man bereits erschließen, dass an dieser Stelle der Gradient der Funktion Null wird (dass also diese Stelle eine kritische Stelle der Funktion ist).

Mit Hilfe der in X 17 veranschaulichten Tatsache, dass der Gradient orthogonal zur Niveaumenge steht (siehe 4.9.3) kann man das Argument auf stabiles Fundament stellen:

Wie kann \(\nabla f\binom xy\) auf zwei verschiedenen Richtungen in der Ebene orthogonal stehen?

Nur, indem dieser Gradient Null ist!


Die hier betrachtete Funktion wird (bis auf einen Faktor \(-1\)) als Zielfunktion für Extrema unter Nebenbedingungen da und dort verwendet.

Horizontale Schnitte, Kontur- und Niveaulinien des Graphen gibt es dort.