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Dargestellt sind außer dem Funktionsgraphen auch die beiden Konturlinien, die zusammen die Menge \(\bigset{\left( \begin{smallmatrix} x \\ y \\ 1 \end{smallmatrix}\right)}{f\binom xy=1} \) bilden, und an mehreren Punkten auf diesen Linien jeweils ein angehefteter Vektor (als Pfeil dargestellt).
Der im Punkt \( \left( \begin{smallmatrix} x \\ y \\ 1 \end{smallmatrix}\right) \) angeheftete Vektor ist dabei \( \left( \begin{smallmatrix} 2x-y \\ -x \\ 0 \end{smallmatrix}\right) \); dieser Vektor ergibt sich aus dem Gradienten \(\nabla f\binom xy = \binom{2x-y}{-x}\), indem man dieser Liste noch einen dritten Eintrag hinzufügt und diesen mit einer Null füllt.
Die Projektionen der Konturlinien in den Definitionsbereich der Funktion \(f\) bilden die Niveaulinie \( M_1 := \set{\binom xy\in\RR^2}{f\binom xy=1} \).
An jeder Stelle \(\binom xy\in M_1\) steht der Gradient \(\nabla f\binom xy\) orthogonal zur (Tangente an die) jeweilige Niveaulinie (siehe 4.9.3).
Horizontale Schnitte, Kontur- und Niveaulinien des Graphen gibt es dort.
Die für die aktuelle Fragestellung (Orthogonalität des Gradienten auf der Niveaulinie) besonders interessante Niveaumenge \(M_0 := \set{\binom xy\in\RR^2}{f\binom xy=1} \) wird auf dieser Seite behandelt.
Die hier betrachtete Funktion wird als Zielfunktion für Extrema unter Nebenbedingungen da und dort verwendet.
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