HM 2: ebene Schnitte und Niveaumengen
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X17: Orthogonalität von Gradienten und Niveaumengen

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Die Funktion

f:R2→R: (xy)↦x(x−y)

ist auf ganz R2 beliebig oft stetig partiell differenzierbar.

Die Darstellung des Funktionsgraphen links können Sie interaktiv bewegen, um sich einen besseren Eindruck zu verschaffen.

Dabei ist die rote Achse die x-Achse, die grüne ist die y-Achse, und die blaue Achse ist die z-Achse, auf der wir die Funktionswerte abtragen, um den Graphen der Funktion im Raum zu realisieren.

Dargestellt sind außer dem Funktionsgraphen auch die beiden Konturlinien, die zusammen die Menge {(xy1)|(xy1)f(xy)=1f(xy)=1} bilden, und an mehreren Punkten auf diesen Linien jeweils ein angehefteter Vektor (als Pfeil dargestellt).

Der im Punkt (xy1) angeheftete Vektor ist dabei (2x−y−x0); dieser Vektor ergibt sich aus dem Gradienten ∇f(xy)=(2x−y−x), indem man dieser Liste noch einen dritten Eintrag hinzufügt und diesen mit einer Null füllt.

Die Projektionen der Konturlinien in den Definitionsbereich der Funktion f bilden die Niveaulinie M1:={(xy)∈R2|(xy)∈R2f(xy)=1f(xy)=1}.

An jeder Stelle (xy)∈M1 steht der Gradient ∇f(xy) orthogonal zur (Tangente an die) jeweilige Niveaulinie (siehe 4.9.3).

Horizontale Schnitte, Kontur- und Niveaulinien des Graphen gibt es dort.

Die für die aktuelle Fragestellung (Orthogonalität des Gradienten auf der Niveaulinie) besonders interessante Niveaumenge M0:={(xy)∈R2|(xy)∈R2f(xy)=1f(xy)=1} wird auf dieser Seite behandelt.

Die hier betrachtete Funktion wird als Zielfunktion für Extrema unter Nebenbedingungen da und dort verwendet.

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