ist auf ganz
\(
\RR^2
\)
beliebig oft stetig partiell differenzierbar.
Die Darstellung des Funktionsgraphen links können Sie interaktiv bewegen, um sich
einen besseren Eindruck zu verschaffen.
Dabei ist die rote Achse die \(x\)-Achse, die grüne ist die
\(y\)-Achse, und die blaue Achse ist die \(z\)-Achse, auf der wir
die Funktionswerte abtragen, um den Graphen der Funktion im Raum zu
realisieren.
Dargestellt sind außer dem Funktionsgraphen auch noch die beiden
durch \(x=0\) bzw. \(y=x\) gegebenen Geraden in \(\RR^2\), die
zusammen die Niveaumenge \(\set{\binom xy\in\RR^2}{f\binom xy=0}\)
bilden.
Aus der Tatsache, dass sich in einer Stelle in \(\RR^2\)
(hier dem Ursprung \(\binom00\)) zwei in einer Niveaumenge einer
stetig partiell differenzierbaren Funktion liegende Kurven
schneiden, kann man bereits erschließen, dass an dieser Stelle der
Gradient der Funktion Null wird (dass also diese Stelle eine
kritische Stelle der Funktion ist).
Mit Hilfe der in X 17 veranschaulichten Tatsache,
dass der Gradient orthogonal zur Niveaumenge steht
(siehe 4.9.3)
kann man das Argument auf stabiles Fundament stellen:
Wie kann \(\nabla f\binom xy\) auf zwei verschiedenen Richtungen in der Ebene
orthogonal stehen?
Nur, indem dieser Gradient Null ist!
Die hier betrachtete Funktion wird (bis auf einen Faktor \(-1\))
als Zielfunktion für Extrema
unter Nebenbedingungen da und
dort verwendet.
