\( \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\diff}{\mathop{\mathrm{\kern0pt d}}} \newcommand{\diffAt}[3]{\frac{\diff}{\diff{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\partAt}[3]{\frac{\partial}{\partial{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\diffgleich}{\mathbin{\,\mathop{=}\limits^{\,\prime}}\,} \newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}} \newcommand{\Jac}[2]{\mathrm{J}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesse}[2]{\mathrm{H}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesso}[1]{\mathrm{H}{#1}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\kern2pt {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\kern2pt\smash{#2}\right\}} \)
HM 2: ebene Schnitte und Niveaumengen

X17: Orthogonalität von Gradienten und Niveaumengen

Die Funktion

\( f\colon \RR^2\to\RR\colon \) \( \binom xy\mapsto x\,(x-y) \)

ist auf ganz \( \RR^2 \) beliebig oft stetig partiell differenzierbar.

Die Darstellung des Funktionsgraphen links können Sie interaktiv bewegen, um sich einen besseren Eindruck zu verschaffen.

Dabei ist die rote Achse die \(x\)-Achse, die grüne ist die \(y\)-Achse, und die blaue Achse ist die \(z\)-Achse, auf der wir die Funktionswerte abtragen, um den Graphen der Funktion im Raum zu realisieren.

Dargestellt sind außer dem Funktionsgraphen auch die beiden Konturlinien, die zusammen die Menge \(\bigset{\left( \begin{smallmatrix} x \\ y \\ 1 \end{smallmatrix}\right)}{f\binom xy=1} \) bilden, und an mehreren Punkten auf diesen Linien jeweils ein angehefteter Vektor (als Pfeil dargestellt).

Der im Punkt \( \left( \begin{smallmatrix} x \\ y \\ 1 \end{smallmatrix}\right) \) angeheftete Vektor ist dabei \( \left( \begin{smallmatrix} 2x-y \\ -x \\ 0 \end{smallmatrix}\right) \); dieser Vektor ergibt sich aus dem Gradienten \(\nabla f\binom xy = \binom{2x-y}{-x}\), indem man dieser Liste noch einen dritten Eintrag hinzufügt und diesen mit einer Null füllt.

Die Projektionen der Konturlinien in den Definitionsbereich der Funktion \(f\) bilden die Niveaulinie \( M_1 := \set{\binom xy\in\RR^2}{f\binom xy=1} \).

An jeder Stelle \(\binom xy\in M_1\) steht der Gradient \(\nabla f\binom xy\) orthogonal zur (Tangente an die) jeweilige Niveaulinie (siehe 4.9.3).


Horizontale Schnitte, Kontur- und Niveaulinien des Graphen gibt es dort.

Die für die aktuelle Fragestellung (Orthogonalität des Gradienten auf der Niveaulinie) besonders interessante Niveaumenge \(M_0 := \set{\binom xy\in\RR^2}{f\binom xy=1} \) wird auf dieser Seite behandelt.

Die hier betrachtete Funktion wird als Zielfunktion für Extrema unter Nebenbedingungen da und dort verwendet.