Die Hyperbel-Funktionen (sinh und cosh) und die Exponentialfunktion

(Den Kontext der Nummer 2.2.12 in der HM 2 finden Sie in Abschnitt 2.2.)

Der Sinus hyperbolicus ist definiert als \( \sinh x := \frac12 \bigl( \E^x - \E^{-x} \bigr) \);

der Cosinus hyperbolicus als \( \cosh x := \frac12 \bigl( \E^x + \E^{-x} \bigr) \).

In der folgenden Skizze können Sie die Stellen \(a\) und \(b\) bewegen und verfolgen, wie sich (im linken Koordinatensystem) der Graph der Summe \(\E^x+\E^{-x}\) und (im rechten Koordinatensystem) der Graph der Differenz \(\E^x-\E^{-x}\) entwickelt.

Im mittleren System sehen Sie dann die beiden Graphen mit angedeutet (punktiert); die Graphen von \(\cosh(x)\) und \(\sinh(x)\) ergeben sich durch Halbieren.

Interpretation im Kontext der Linearen Algebra

Was wir hier mit der Exponentialfunktion angestellt haben, ist die Zerlegung als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion: \(\exp=\cosh+\sinh\), wobei \(\cosh(-x)=\cosh(x)\) und \(\sinh(-x)=-\sinh(x)\) für alle \(x\in\RR\) gilt.

Für Expert*innen:

Es sei \(D = (-a,a)\) ein symmetrisches Intervall (meinetwegen mit \(a=+\infty\), also \(D=\RR\)).

Auf dem Vektorraum \(\mathcal F\) aller reell-wertigen Funktionen mit festem Definitionsbereich \(D\) haben wir die Abbildung

\( S\colon \mathcal F\to\mathcal F \colon f\mapsto Sf \,, \)

wobei die Funktion \(Sf\) gegeben ist durch \(Sf\colon D\to\RR\colon x\mapsto f(-x)\).

Diese Abbildung \(S\) is eine lineare Abbildung.

Sie hat die Eigenwerte \(1\) und \(-1\), die zugehörigen Eigenräume sind die Räume \(V(1) = \set{f\in\mathcal F}{\forall x\in D\colon f(-x)=f(x)}\) aller geraden Funktionen und \(V(-1) = \set{f\in\mathcal F}{\forall x\in D\colon f(-x)=-f(x)}\) aller ungeraden Funktionen.

Die Abbildung \(s\) ist diagonalisierbar: Jedes Element von \(\mathcal F\) ist Linearkombination von Eigenvektoren, mit anderen Worten: Jede Funktion in \(\mathcal F\) ist Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion.

Diese Zerlegung bekommen wir immer so wie oben für \(\exp\):

Für \(f\in\mathcal F\) setzen wir \(f^+\) fest durch \(f^+(x)=\frac12\bigl(f(x)+f(-x)\bigr)\) und \(f^-\) durch \(f^-(x)=\frac12\bigl(f(x)-f(-x)\bigr)\).

Dann ist \(f^+\) eine gerade Funktion, und \(f^-\) ist eine ungerade Funktion, und ganz offensichtlich gilt \(f=f^++f^-\).

Was diese beiden Funktionen mit einer Hyperbel zu tun haben (also: warum die "hyperbolicus" heißen), finden Sie hier.