\( \def\pause{} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \newcommand{\E}{\mathrm{e}} \)

Die Hyperbel-Funktionen (sinh und cosh) und die Hyperbel

(Den Kontext der Nummer 2.2.12 in der HM 2 finden Sie in Abschnitt 2.2.)

Um Verwirrung möglichst zu vermeiden, schreiben wir die Variable in den folgenden Funktionen als \(t\) (und nicht, wie sonst oft üblich, als \(x\)).

Der Sinus hyperbolicus ist definiert als \( \sinh t := \frac12 \bigl( \E^t - \E^{-t} \bigr) \);

der Cosinus hyperbolicus als \( \cosh t := \frac12 \bigl( \E^t + \E^{-t} \bigr) \).

Wir rechnen aus:

\( \bigl(\cosh(t)\bigr)^2 = \frac14\bigl(\E^t+\E^{-t}\bigr)^2 = \frac14\bigl(\E^{2t}+2\,\color{red}{\E^0}+\E^{-2t}\bigr) \)

\( \bigl(\sinh(t)\bigr)^2 = \frac14\bigl(\E^t-\E^{-t}\bigr)^2 = \frac14\bigl(\E^{2t}-2\,\color{red}{\E^0}+\E^{-2t}\bigr) \)

Wenn wir die beiden voneinander abziehen, bleibt

\( \bigl(\cosh(t)\bigr)^2 - \bigl(\sinh(t)\bigr)^2 = \frac14\bigl(2+2\bigr) = 1 \).

Die Punkte in der Ebene, die sich als \( \binom{x_1}{x_2} = \binom{\cosh(t)}{\sinh(t)} \) schreiben lassen, erfüllen also die Gleichung

\(\phantom{0=-{}} x_1^2-x_2^2 = 1 \).

Wenn wir alles auf eine Seite räumen, erhalten wir eine Quadrik-Gleichung in euklidischer Normalform:

\( 0 = -x_1^2+x_2^2 + 1 \).

Die Punkte mit Koordinaten \( \binom{x_1}{x_2} = \binom{\cosh(t)}{\sinh(t)} \) liegen also alle auf einer Hyperbel.
Sie füllen diese Hyperbel aber nicht ganz aus [weil \(\cosh(t)\) immer positiv ist], sondern nur einen Ast dieser Hyperbel.

Den zweiten Ast durchlaufen wir mit den Punkten der Form \( \binom{x_1}{x_2} = \binom{-\cosh(t)}{\sinh(t)} \).

Sie können mit den beiden Schiebereglern unten die Parameter \(t\) und \(s\) einstellen, die die Punkte \(R(t) = \binom{\cosh(t)}{\sinh(t)} \) auf dem rechten Ast der Hyperbel bzw. \(L(s) = \binom{-\cosh(s)}{\sinh(s)} \) auf dem linken Ast liefern.

Durch Einstellen der Grenzen \(a,b\) bzw. \(c,d\) steuern Sie, welcher Teil (nämlich \(\set{R(t)}{t\in[a,b]}\) bzw. \(\set{L(s)}{s\in[c,d]}\)) des jeweiligen Astes farbig hervorgehoben wird.

Die strichpunktierten Linien deuten die beiden Asymptoten der Hyperbel an; diese sind gegeben durch die Quadrik-Gleichung

\( -x_1^2+x_2^2 = 0 \).

Näheres zum Zusammenhang mit der Exponentialfunktion finden Sie hier.