EiS-Tee zur Höheren Mathematik

Explorativ interaktive Seiten - Theorie erkenntnisfördernd entdecken.

zu Themen aus der Linearen Algebra: komplexe Zahlen, Ebenen, Eigenwerte, Quadriken
und zu Themen aus der Analysis: Reihen, Stetigkeit, Potenzreihen, Differentialrechnung, Integralrechnung, Funktionen in mehreren Veränderlichen, Kurvenintegrale, Potentialtheorie.

Früher hieß so etwas Spielzeug. Trauen Sie sich zu spielen - das ist erkenntnisfördernd (und interaktiv sowieso).

Die englischen Versionen wurden erstellt für Studierende der University of Canterbury (Christchurch, NZ) bei Aufenthalten als Visiting Erskine Fellow.

• Polarkoordinaten für komplexe Zahlen:
  Multiplikation, Kehrwerte

• Potenzen komplexer Zahlen in Polarkoordinaten
• Wurzeln komplexer Zahlen in Polarkoordinaten

• Da kein käuflich angebotenes Zeichendreieck für die Antragung und Messung der Winkel das in der Differentialrechnung aus gutem Grund bevorzugte Bogenmaß auf den aufgedruckten Winkelskalen verwendet, stelle ich hier ein solches Zeichendreieck zur Verfügung (als PDF).

  

  Vielleicht hilft es Ihnen, diese Seite auf eine Folie auszudrucken, und dann das Zeichendreieck auszuschneiden.

• Allerlei Ebenen: interaktive Seite zu einem 3D-Modell.
  Auf der roten und grünen Ebene sind Hände erkennbar. Die grüne Hand verdeutlicht eine Orthonormalbasis (und zwar ein Rechtssystem).
  Die rote Hand ist das Spiegelbild der grünen Hand bezüglich der blauen Ebene.
  

• Eigenvektoren interaktiv
  
  In drei Darstellungen wird jedes Mal eine lineare Abbildung (beschrieben jeweils durch eine Matrix) veranschaulicht.
  Einerseits zeigen wir einen Vektor \(v\) und seinen Bild-Vektor, andererseits ist auch jeweils ein Dreieck samt seinem Bild zu sehen.
  Sie können mit der Maus den Vektor \(v\) bewegen: Dabei bewegt sich der Bildvektor mit.

• voll durchgedreht
  Eine ganz ernsthafte Beschreibung und Visualiserung eines (einschaligen) Rotationshyperboloids.
  
• A quadric depending on a parameter.
  You may adjust that parameter by dragging it with your mouse.
  
• Hyperbolas defined by quadratic equations.
  The applet shows two hyperbolas that depend on parameters \(a\) and \(c\).
  You may adjust the values of \(a\) and \(c\) by moving your mouse. The hyperbolas and their asymptotes will be changed accordingly.
  
• Kegelschnitte: ebene Schnitte eines Doppelkegels.
  interaktive Seite zu einem 3D-Modell.
  
• Sattelfläche als Quadrik.
  interaktive Seite zu einem 3D-Modell.
  
• Hauptachsentransformation einer Quadrik (Hyperboloid).
  interaktive Seite zu einem 3D-Modell.
  
• eingeschnürt
  Das einschalige Hyperboloid als Schnurmodell im Video, mit mathematischen Erläuterungen dazu.
  
• Quadriken durch vorgegebene Punkte: Vom Nutzen der Theorie
  Wir bestimmen die Quadrik durch fünf vorgegebene Punkte; dabei kann man einen Punkt bewegen, die Quadrik verändert sich dann entsprechend.
  Die Gestalt der entstehenden Quadrik kann man ohne allzu viel Aufwand erkennen, wenn man ein bisschen Theorie beherrscht.
  
• Ebene Schnitte einer Quadrik:
  warum man auf kartesische Koordinaten achten muss
  
• Ebene (horizontale) Schnitte eines hyperbolischen Paraboloids
  
• Ebene (vertikale) Schnitte eines hyperbolischen Paraboloids
  
• Dachkonstruktion als hyperbolisches Paraboloid: Alsterbad in Hamburg
  Die Dachfläche ist zusammengesetzt aus zwei Teilstücken eines hyperbolischen Paraboloids. Ein in der Konstruktionsphase verwendetes Modell steht im Eingangsbereich das Gebäudes Pfaffenwaldring 7.
  

• Veranschaulichung zur geometrischen Reihe (1.8.4)
  
• Veranschaulichung zur geometrischen Reihe (im Komplexen)
  
• Ein Video über ein in den Campus Vaihingen eingebettetes Kunstwerk
  
• Veranschaulichung zum Leibniz-Kriterium (1.9.5)
  

• Beispiele aus 1.10.2
• Das ε-δ-Kriterium (1.10.5)
  
• Unstetigkeit des Wurzelziehens
• Beispiel 1.11.7
• Stetigkeit der Verkettung (1.12.4)
  
• Eine Abschätzung zwischen Sinus und Tangens (zu 1.12.5)
  
• Zwischenwertsatz: Anwendung auf das Gleichheitsproblem (1.13.6)
• Intervallhalbierungsmethode (1.13.13)
  

• Die Konvergenzkreisscheibe (1.14.5)
  
• Die Formel von Euler und de Moivre (1.14.18)
  

• Sekanten zur Approximation von Tangenten (2.1.4)
• Knicke und Sprünge (2.1.4)
• wüstes Gezappel (2.1.4)
  
• Die Hyperbel-Funktionen (sinh und cosh) und die Exponentialfunktion (2.2.12)
  
• Hyperbel-Funktionen (sinh und cosh) und die Hyperbel (2.2.12)
• zum geometrischen Beweis des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion (2.3.1)
  
• zum Mittelwertsatz (2.4.4)
• zu Taylor-Polynomen (2.6.2)
  
• Extremstellen bei den Beispielen aus 2.7.2
• Extrema und Wendepunkte (2.7.4)
  
• Extrema und Wendepunkte, Version 2 (2.7.4)
  

• optische Täuschung? (zu 3.2.1)
  
• Die Umkehrfunktionen zu den Hyperbel-Funktionen (sinh und cosh) und Flächen an der Hyperbel (man braucht die Ableitung von arsinh aus 2.3.3, aber auch eine (partielle) Integration 3.2.2)
  
• Ober- und Untersumme (Riemann-Integral) 3.5.1
  
• Flächenfunktion (zu 3.6.1)
  
• Mittelwertsatz der Integralrechnung (3.6.2)
• Integral-Vergleichskriterium (3.8.1)
  
• Der Integralsinus: Die Macht der Potenzreihe (siehe 3.8.7)
  

• Graph einer Funktion in zwei Veränderlichen: achsenparallele Schnitte und Niveaumengen (siehe 4.1.3)
  
• interaktive Seite zu einem 3D-Modell zum Thema Niveaulinien und achsenparallele Schnitte (siehe 4.1.3)
  
• Häufungspunkte (und Abschluss eines Funktionsgraphen, siehe 4.2.15.2)
  
• Video zum Begriff beschränkt (und ein Cartoon zum Begriff kompakt, siehe 4.2.16)
  
• partielle Ableitungen (siehe 4.3.1)
  
• interaktive Seite zu einem 3D-Modell zum Thema Eine unstetige, aber partiell differenzierbare Funktion (siehe Abschnitt 4.1, Abschnitt 4.2, Abschnitt 4.3)
  
• konvexe und nicht konvexe Mengen (siehe 4.4.6)
  
• Video zum Begriff konvex (siehe 4.4.6)
  
• interaktive Seite zu einem 3D-Modell zum Thema Schmiegquadrik (siehe 4.4.15)
  
• interaktive Seite zu einem 3D-Modell zum Thema Sattelfläche / hyperbolisches Paraboloid (siehe 4.4.15)
  
• interaktive Seite zu einem 3D-Modell zum Thema Niveaumengen, kritische Stellen, lokale Extrema (siehe Abschnitt 4.5)
  
• Extrema unter Nebenbedingungen (zur Multiplikatormethode, siehe 4.6.3)
  
• interaktive Seite zu einem 3D-Modell zum Thema Extrema unter Nebenbedingungen (siehe Abschnitt 4.6)
  
• Jacobi-Matrix (am Beispiel der Polarkoordinaten, siehe 4.7.6)
  
• interaktive Veranschaulichung des Zusammenhangs zwischen Niveaulinien und Gradienten (am Beispiel 4.9.5)
  
• Ebene (horizontale) Schnitte eines hyperbolischen Paraboloids: Niveaulinien, Konturlinien, Sattelpunkt (zu X.16a)
  
• Ebene (vertikale) Schnitte eines hyperbolischen Paraboloids: Extrema unter Nebenbedingungen (zu X.16b und X.16c)
  
• Extrema unter Nebenbedingungen (zu X.16e und X.16f)
  
• immer noch das hyperbolische Paraboloid: Gradient orthogonal zur Niveaumenge (zu X.17)
  
• Warum überkreuzende Niveaulinien Sattelpunkte liefern (zu X.18)

• kurzes Video zum einfachen Zusammenhang von \( \mathbb{R}^3\smallsetminus U_\rho(m) \) und \( \mathbb{R}^3\smallsetminus\{m\} \) (siehe 5.1.4)
  
• Video zum Begriff einfach zusammenhängend (siehe 5.1.3, 5.1.4)
  
• Virtuelles 3D-Modell (parabolische Ausfräsung an einem Zylinder) samt Fragen zum Begriff einfach zusammenhängend (siehe 5.1.3, 5.1.4)
  
• interaktive Seite zu Vektorfeldern, Kurven(integralen) und Potentialen (siehe 5.1.2, 5.1.3, 5.3.1, 5.3.8, 5.3.10)
  
• Ein Video zu einem Experiment, mit dem wir die Wegabhängigkeit eines Kurvenintegrals praktisch überprüft haben.

  

• interaktive Seite zu einem 3D-Modell zum Thema Rotation Null, aber trotzdem kein Potential (siehe 5.3.15)
  

noch einmal:
trauen Sie sich, zu spielen!